- •1 Билет
- •1. Определение геометрического ряда. Теорема (необходимый признак сходимости). Теорема (о погружении дискретного аргумента (n) в непрерывный (X).
- •2. Определение функции нескольких переменных. Определение множества значений фнп. Определение графика функции. Определение линии уровня.
- •3. Исследовать ряд на сходимость
- •2) Определение ду, обыкновенное и ду в частных производных, порядок и решение;
- •4 Билет
- •1.Второй предельный признак сравнения. Признак Даламбера
- •1.Теор.Коши, интегральный признак коши
- •2.Опр:точки максимума и минимума,точки
- •6 Билет
- •1) Определение ряда Тейлора. Определение ряда Маклорена.
- •2) Определение линейного ду первого порядка.
- •1. Ряд тейлора (теорема)
- •2. Условный экстремум, необходимое условие условного экстремума
- •1)Определение полного дифференциала. Дифференцируемость ф-ции 2 переменных в точке.(определение и теорема).
- •2)Уравнение Бернулли (определение и метод решения).
- •1) Дифференцирование сложных функций (2 теоремы и замечание)
- •2) Частные случаи ду 2го порядка, метод решения
- •1.Необходимое и достаточное условие экстремума.
- •1)Определение двойного интеграла от функции двух переменных. Замечание по символическому обозначению ди. Теорема о существовании ди
- •2) Достаточное условие экстремума функции двух переменных(теорема)
- •1.Вычисление двойного интеграла в полярной системе координат;
- •1) Числовые ряды. Частичная сумма числовых рядов. Сходимость числового ряда и суммы числового ряда.
- •2) Виды правых частей линейного неоднородного
- •1.Геом ряд.Теорема о погружении и т о достаточном условии чего-то там из той же лекции
- •2.Вычисление ди в декартовой системе
- •1) Теорема Коши.Интегр-й признак Коши
- •1. Второй предельный признак сходимости. Признак Даламбера.
- •2. Точка Максимума,минимума функции двух переменных,экстремум,стационарные и критические точки.
- •1. Знакочередующийся ряд. Признак Лейбница
- •2. Линейный ду 1-ого порядка. Однородные и неоднородные. Общие их решения.
- •1)Определение двойного интеграла от функции двух перем
- •2)Определение и метод решения полного дифферинциала
- •1)Определение окрестности точки на плоскости Определение предела ф-ии двух переменных
- •1)Основные свойства двойного интеграла;
- •2)Метод математической индукции
- •1.Ди в полярной системе координат
- •2.Однородное ду 1-го порядка (метод решения, замечание)
- •3.Стационарные точки
- •41 Билет
- •1)Определение непрерывности в точке функции двух переменных . Определение точки разрыва функции двух переменных.
- •2) Определение однородной функции степени n. Однородное ду первого порядка ( определение, представление в виде уровня в дифференциалах ( замечаний и метод решения)
- •1. Определение двойного интеграла для функции двух переменных. Замечание о символах двойного интеграла. Теорема о существовании двойного интеграла.
- •2. Виды правых частей линейного неоднородного дифференциального уравнения 2 порядка и соответствующие виды частных решений.
- •1. Окрестность точки на плоскости. Предел функции нескольких переменных.
41 Билет
1)Определение непрерывности в точке функции двух переменных . Определение точки разрыва функции двух переменных.
О:Ф-я z= f(x,y) наз непрер в т (х0,у0): 1)if она определена в т (х0,у0) 2) if имеет кон предел в т (х0,у0) 3)if этот предел равен значению ф-ии в т х0,у0, те lim f(x,y) = f(x0,y0) (x→x0, у→у0)
О:If в т (x0,y0) не вып-ся хотя бы одно их 3х усл непрер-ти ф-ии z= f(x,y), то такая т наз точкой разрыва ф z= f(x,y)
2)ДУ в полных дифференциалах.определение и решение
(Ур в полных дифф-ах). О:Ур вида M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 (2) наз ур в полн дифф-ах, if его левая часть явл полным дифф-м нек ф F(х,у), те dF(x,y)=∂F/∂x*dx+∂F/∂y*dy≡M(x,y)dx+N(x,y)dy
Метод решу р в полных дифф (2) основан на нахождении ф-ии f(х,у), от j полный дифф равен явной части данн ур. Тогда общ реш ур (2) можно записать в виде F(x,у)=С.
2) Определение однородной функции степени n. Однородное ду первого порядка ( определение, представление в виде уровня в дифференциалах ( замечаний и метод решения)
О: Ф F(х,у) наз однородной ф степени n, if для всех λ вып тожд: F(λx,λy)=λ^nF(x,y).
О: ДУ 1го пор наз однородным, if оно мб представлено в виде: y’=f(y/x)
З: Однор ДУ мб записано в виде М(х,у)dx+N(x,y)dy=0, где ф М(х,у) и N(x,y) явл однор одинак степени однородности.
Метод реш орднор ДУ основан на замене перем у по форм у=ux, где u-new искомая ф от х. В рез такой замены однор ДУ преобраз в ДУ с разделяющимися перем. 3) х^2 dy=(y^2-xy+x^2) dx
Билет 43 1. Знакочередующийся ряд. Признак сходимости Лейбница знакочередующегося ряда.
О: Знакочеред рядом наз ряд, в j член попеременно то полож, то отриц, те ряд вида u1-u2+u3-u4+…+(- 1)^n+1*un+…=Ʃ(-1)^n+1*un, где un˃0
Т: (пр Лейбница сход знакочеред ряда) Знакочеред ряд сход if абсол велич его чл монотонно убыв, а общ чл стремится к 0, те вып-ся 2 усл: 1) u1˃u2˃u3˃… 2)lim un=0 2. ФНП, график 2 переменных, множество значений, уровень линии
Опр1. Пусть имеется n переменных величин и каждому набору их значений (х1,х2,…,хn) из некоторого мн-ва Х соответствует одно вполне опр значение переменной вел-ны z. Тогда говорят, что задана ф-ия нескольких переменных z=f(x1,x2,…,xn). При этом переменные x1,x2,…,xn наз-ся независимыми переменными или аргументами, z-зависимой переменной, f – закон соответствия, Х- областью опр ф-ии и обозн D(z).
Опр2. Совокупность всех значений функции z=f(x,y) называется множеством ее значений и обозначается символом E(z)
Опр3.Графиком ф-и z=f(x,y) наз-ся множество G(z)={(x,y,z)εR³|z=f(x,y),(x,y)εD(z)} Графиком ф-ии z=f(x,y) представляет собой некоторую поверхность в трехмерном пространстве.
Опр4. Линией уровня функции z=f(x,y) называется множество точек на плоскости, в которых ф-ия принимает одно и то же значение С. Число С в этом случае называется уровнем 3. Найти область сходимости сумма по н от 1 до бесконечности x в степени 3n / корень квадратный n
билет №44.