- •1 Билет
- •1. Определение геометрического ряда. Теорема (необходимый признак сходимости). Теорема (о погружении дискретного аргумента (n) в непрерывный (X).
- •2. Определение функции нескольких переменных. Определение множества значений фнп. Определение графика функции. Определение линии уровня.
- •3. Исследовать ряд на сходимость
- •2) Определение ду, обыкновенное и ду в частных производных, порядок и решение;
- •4 Билет
- •1.Второй предельный признак сравнения. Признак Даламбера
- •1.Теор.Коши, интегральный признак коши
- •2.Опр:точки максимума и минимума,точки
- •6 Билет
- •1) Определение ряда Тейлора. Определение ряда Маклорена.
- •2) Определение линейного ду первого порядка.
- •1. Ряд тейлора (теорема)
- •2. Условный экстремум, необходимое условие условного экстремума
- •1)Определение полного дифференциала. Дифференцируемость ф-ции 2 переменных в точке.(определение и теорема).
- •2)Уравнение Бернулли (определение и метод решения).
- •1) Дифференцирование сложных функций (2 теоремы и замечание)
- •2) Частные случаи ду 2го порядка, метод решения
- •1.Необходимое и достаточное условие экстремума.
- •1)Определение двойного интеграла от функции двух переменных. Замечание по символическому обозначению ди. Теорема о существовании ди
- •2) Достаточное условие экстремума функции двух переменных(теорема)
- •1.Вычисление двойного интеграла в полярной системе координат;
- •1) Числовые ряды. Частичная сумма числовых рядов. Сходимость числового ряда и суммы числового ряда.
- •2) Виды правых частей линейного неоднородного
- •1.Геом ряд.Теорема о погружении и т о достаточном условии чего-то там из той же лекции
- •2.Вычисление ди в декартовой системе
- •1) Теорема Коши.Интегр-й признак Коши
- •1. Второй предельный признак сходимости. Признак Даламбера.
- •2. Точка Максимума,минимума функции двух переменных,экстремум,стационарные и критические точки.
- •1. Знакочередующийся ряд. Признак Лейбница
- •2. Линейный ду 1-ого порядка. Однородные и неоднородные. Общие их решения.
- •1)Определение двойного интеграла от функции двух перем
- •2)Определение и метод решения полного дифферинциала
- •1)Определение окрестности точки на плоскости Определение предела ф-ии двух переменных
- •1)Основные свойства двойного интеграла;
- •2)Метод математической индукции
- •1.Ди в полярной системе координат
- •2.Однородное ду 1-го порядка (метод решения, замечание)
- •3.Стационарные точки
- •41 Билет
- •1)Определение непрерывности в точке функции двух переменных . Определение точки разрыва функции двух переменных.
- •2) Определение однородной функции степени n. Однородное ду первого порядка ( определение, представление в виде уровня в дифференциалах ( замечаний и метод решения)
- •1. Определение двойного интеграла для функции двух переменных. Замечание о символах двойного интеграла. Теорема о существовании двойного интеграла.
- •2. Виды правых частей линейного неоднородного дифференциального уравнения 2 порядка и соответствующие виды частных решений.
- •1. Окрестность точки на плоскости. Предел функции нескольких переменных.
1)Основные свойства двойного интеграла;
Основные св-ва ДИ. 1)ДИ от суммы (разности) 2х ф-й равен сумме (разности) ДхИв от их ф-й ∫∫[f1(x,y)±f2(x,y)]dơ=∫∫f1(x,y)dơ)±∫∫f2(x,y) dơ 2)Постоян мн-ль м выносить на знак ДИ =∫∫Сf(x,y)dơ=С∫∫f (x,y)dơ 3)Если обл инт-ия D разбита на 2 обл D1 и D2, то ∫∫f(x,y)dơ=∫∫f(x,y)dơ+∫∫f(x,y)dơ (D,D1,D2) 4)Если всюду в обл D f(x,y)≤µ(x,y), то ∫∫f(x,y)dơ≤∫∫µ(x,y)dơ при усл, что эти инт сущ.
2)Метод математической индукции
Метод мат индукции: ↓ N-мн-во натур чисел и А(n)-некот зависящее от nϵN. If: 1) доказано, что А(1) верно. 2) При усл, что утв А(n) верно для некот n Доказано, что А(n+1) также верно
3) Вычислите ДИ по D (x+y)dxdy, y=x2, y=x
Билет 39
1.Ди в полярной системе координат
Вычисление ДИ в полярной системе к-т. ПСК задается т О и направленной прямой Ох. Полодение т М на плоск м однозначно опред-ть парой чисел ρ и µ. 1) Полярный радиус ρ-длина отрезка ОМ 2) Полярный угол µ - угол м/у осбю Ох и радиус-вектором OM (отсчитывается против час стрелки). Полярные к-ты ρ и µ связаны с дек к-ми х и у след образом: х= ρcosµ, y= ρsinµ, ρ= √x^2+y^2 µ=arctgy/x 0≤ρ<∞ 0≤µ≤2пи. Если обл интегрирования D ограничена 2мя лчами µ=α, µ=β (α<β) и 2мя непрер кривыми ρ=ρ1(µ), ρ= ρ2(µ) [ρ1(µ)≤ρ2(µ)], то ДИ вычисл-ся по формуле ∫∫f(x,y)dxdy=∫dµ∫f(ρcosµ, ρsinµ)ρdρ (D, α-β, ρ1(µ)-ρ2(µ)), причем сначала выч-ся внутр интеграл, в кот µ счит-ся постоянным.
2.Однородное ду 1-го порядка (метод решения, замечание)
О: ДУ 1го пор наз однородным, if оно мб представлено в виде: y’=f(y/x)
З!однород ДУ может также быть записано в виде
M(x,y)dx+N(x,y)dy=0, где ф-ии M(x,y) и N(x,y) явля-ся однород ф-ми одинак степ. однородности.
Метод реш орднор ДУ основан на замене перем у по форм у=ux, где u-new искомая ф от х. В рез такой замены однор ДУ преобраз в ДУ с разделяющимися перем.
3.Стационарные точки
Билет 40. 1) Решение двойного интеграла в декартовой системе координат.
Вычисление ДИ в декарт сист к-т.2 основных вида обл инт-ия: 1) обл инт-я D ограничена слева и справа х=а, х=b, (a<b), а снизу и сверху – непрер кривыми у=µ1(х), у=µ2(х), [µ1(х)≤µ2(х)], кажд из кот пересек-ся вертик прямой только в одной т
Для такой обл ДИ вычисляется по формуле ∫∫f(x,y)dxdy=∫dx∫f(x,y)dy (a-b, µ1(х)-µ2(х)) (1), где сгачала вычис-ся внутр инт ∫f(x,y)dy, в кот х счит-ся постоянным.
2)Область инт-ия D ограничена снизу и сверху прямыми у=с и у=d, (с<d), а слева и справа непрерывными кривыми х=ψ1(у), х=ψ2(у), [ψ1(у)≤ψ2(у)], кажд из кот перес-ся горизонт прямой только в одной т.
Для такой обл ДИ вычисляется по формуле ∫∫f(x,y)dxdy=∫dу∫f(x,y)dх (с-d, ψ1(у)-ψ2(у)) (2), причем сначала вычисл внутр инт, в кот у счит-ся пост-й. 2) Понятие дифф. уравнения. Понятие обыкновенного д.у. и д.у. в частных производных. Определение порядка и решения д.у.
О: Дифф ур-ем наз ур, связывающее независ перем ф-ии и её произв.
О: If независ перем одна, то урн аз обыкновенным, а if незав перем 2 или >, то урн наз ДУ в частных произв-ых.
О: Порядком ДУ наз пор наивысшей произв, входящей в ур.
О: Решением ДУ наз л ф, j при подстан-ке в ур обращ его в тожд. 3) (1+2y)xdx+(1+x^2)dy=0