1 Билет

1. Определение геометрического ряда. Теорема (необходимый признак сходимости). Теорема (о погружении дискретного аргумента (n) в непрерывный (X).

Опр1. Геометрическим рядом называется ряд, составленный из членов геометрической прогрессии.

a+aq+aq^2+…+aq^(n-1)+…= , где a≠0

Теорема1. Необх. призн сх-ти. Если ряд – сходится, то его общий член стремится к 0, т.е. =0

Следствие. Если общий член ряда не стремится к 0, при

n→inf, т.е. ≠0, то ряд расходится.

Теорема2. о погруж. дискр. арг-та n в непрерывный х.

Если и при этом существует, то также существует и равен А.

2. Определение функции нескольких переменных. Определение множества значений фнп. Определение графика функции. Определение линии уровня.

Опр1. Пусть имеется n переменных величин и каждому набору их значений (х1,х2,…,хn) из некоторого мн-ва Х соответствует одно вполне опр значение переменной вел-ны z. Тогда говорят, что задана ф-ия нескольких переменных z=f(x1,x2,…,xn). При этом переменные x1,x2,…,xn наз-ся независимыми переменными или аргументами, z-зависимой переменной, f – закон соответствия, Х- областью опр ф-ии и обозн D(z).

Опр2. Совокупность всех значений функции z=f(x,y) называется множеством ее значений и обозначается символом E(z)

Опр3.Графиком ф-и z=f(x,y) наз-ся множество G(z)={(x,y,z)εR³|z=f(x,y),(x,y)εD(z)} Графиком ф-ии z=f(x,y) представляет собой некоторую поверхность в трехмерном пространстве.

Опр4. Линией уровня функции z=f(x,y) называется множество точек на плоскости, в которых ф-ия принимает одно и то же значение С. Число С в этом случае называется уровнем

3. Исследовать ряд на сходимость

∑(от n=1 до бесконечности) (2^n)/(6^n+2^n)

Билет 3.

1) 1 признак сравнения + эталонные ряды;

Т: (1-й признак сравн) ↓даны 2 рада с полож чл Ʃun и Ʃvn, каждый чл 1го ряда не превосх соотв чл 2го ряда, те un≤vn(n=1,2…)Тогда: 1) if сход ряд Ʃvn, то сход и Ʃun 2) if расх Ʃun, то расх и ряд Ʃvn

Эталонные ряды: 1) геом ряд: Ʃaq^n-1 j сход при │q│˂1 и расх при│q│ ≥1 2) гармон ряд Ʃ1/n j расх 3) обобщ гармон ряд (Дерихле) Ʃ 1/n^p j сход при p˃1 и расх при р≤1.

2) Определение ду, обыкновенное и ду в частных производных, порядок и решение;

О: Дифф ур-ем наз ур, связывающее независ перем ф-ии и её произв.

О: If независ перем одна, то ур наз обыкновенным, а if незав перем 2 или >, то урн наз ДУ в частных произв-ых.

О: Порядком ДУ наз пор наивысшей произв, входящей в ур.

О: Решением ДУ наз л ф, j при подстан-ке в ур обращ его в тожд.

3) (1-2y)xdx+(1+x^2)dy=0

4 Билет

1.Второй предельный признак сравнения. Признак Даламбера

Т: (2-й (предельный) пр сравн) If Ʃun и Ʃvn ряды с полож чл и сущ конеч lim отношения их общих чл lim un/vn=k≠0, то ряды одновр сход либо одновр расх

Т: (пр Даламбера) If дан ряд Ʃun с полож чл и сущ предел lim u(n+1)/un=D, тогда 1) ряд сход, if D˂1 2) ряд расх, if D˃1

Зам. if D=1 – ряд может как сх-ся, так и расх-ся. Необх дополн исс-ие ряда с помощ др призн. 2.Уравнение в полных дифференциалах 

Сл2(Ур в полных дифф-ах). О:Ур вида M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 (2) наз ур в полн дифф-ах, if его левая часть явл полным дифф-м нек ф F(х,у), те dF(x,y)=∂F/∂x*dx+∂F/∂y*dy≡M(x,y)dx+N(x,y)dy

Т: Для того, чтобы ур (2) было ур-ем в полных дифф-х необ-мо и дост-но, чтобы ∂ M(x,y)/∂у≡∂N(x,y)/∂х

Метод решу р в полных дифф (2) основан на нахождении ф-ии ≠(х,у), от j полный дифф равен явной части данн ур. Тогда общ реш ур (2) можно записать в виде F(x,у)=С.

З:Искомая ф-я F(x,у) нах-ся из сист ур-й: ∂F(x,у)/∂х=М(х,у) ∂F(x,у)/∂у=N(х,у) Находим ф F(x,y). F(х,у)=∫M(х,у)dx=Ф(x,y)+g(y). Дифф-уя получ-ую ф-ю по у с учетом 2го ур получаем ур для опред-я ф g(y): ∂Ф(х,у)/∂у+∂g(y)/∂y=N(x,y) 3.Область сходимости (сумма по n от 1 до бесконечности 4^n*x^2n

Билет 5.