22. Дифференциальное уравнение свободных незатухающих колебаний и его решение.

23. Затухающие колебания. Дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний и его решение. Характеристики затухающих колебаний: логарифмический декремент затухания, коэффициент затухания, время релаксации.

Колебания, амплитуда которых из-за потерь энергии реальной колебательной системы с течением времени уменьшается, называются затухающими.

Причина потерь энергии – действие силы трения

Сила трения F_тр=-rV, F_x=-rx^*

IIзН для затухающих прямолин. колебаний вдоль оси x:

Условный период – время между 2 ближайшими макс отклонениями от положения равновесия.

Скорость затухания колебаний определяется величиной В=r/2m

Если трение в системе мало T=2pi/w₀

Х-ки затухающих колебаний

-Декремент затухания – отношение амплитуд 2х соседних колебаний

A(t)=A₀e^-Bt

-Лог декремент затухания – натуральный логарифм отношения амплитуд 2х соседних колебаний

-Время релаксации – время, в течение которого амплитуда колебаний уменьшается в е раз

A₀/A(тао)=e^Bt=e¹

-Коэф затухания – ф.величина, обратная времени релаксации, в течении которого амплитуда уменьшается в е раз

- Добротность - пропорциональна числу колебаний, совершаемых системой, за время релаксации τ.

24. Вынужденные колебания. Резонанс.

Вынужденнные – колебания, происходящие под действием внешней переменной силы (вынуждающей).

В этом случае внешняя сила совершает полож. работу и обеспечивает приток энергии к колебательной системе.

Частное решение: x=Acos(wt-фи)

Воспользуемся методом векторных диаграмм

Введём обозначения:

После начала воздействий внешней силы на колеб. системы необходимо некоторое время dt для установления вынужденных колебаний. Время установления по порядку величины равно времени затухания (тао) свободных колебаний в колеб. системе.

Амплитуда вынужденных колебаний изменяется с изменением частоты внеш. воздействия w; при опред. частоте амплитуда достигает максимума.

25. Сложение гармонических колебаний.

Одного направления и одинаковой частоты

Пусть точка одновременно участвует в 2х гарм колебаниях одинакового периода, направленных вдоль одной прямой.

Т акие колебания – когерентные, если их разность фаз не зависит от времени: фи₂-фи₁=const

А=А₁+А₂ – результирующее колебание, тоже гармоническое с частотой w₀: x=Acos(w₀t+фи)

Т.косинусов:

А²=А₁²+А₂²+2А₁А₂cos(фи₂-фи₁) (1)

tg фи= A₁синфи₁+А₂синфи₂ / A₁косфи₁+А₂косфи₂ (2)

В р-те сложения 2х колебаний одного направления с одинаковой частотой получим снова гармон колебание вида: x=Acos(w₀t+фи)

Амплитуда рез колебания задаётся ур(1), нач. фаза рез. колебания: ур(2).

Рассм. несколько случаев:

1) ф₂-ф₁=2Пn, где n=0, +-1, +-2..

Тогда cos(ф₂-ф₁)=1 и А=А₁+А₂

Колебания синфазны, рез колебание имеет большую амплитуду, усиливают.

2) ф₂-ф₁=П(2n+1), cos(ф₂-ф₁)=-1 и А=|А₂-А₁|

Колебания в противофазе

3) Разность фаз изменяется во времени произвольным образом

Колебания некогерентны

Если w₁≠w₂, то рез колебание не будет гармоническим.

Биения

Складываются 2 колебания одного направления с близким частотами

Р ассм. случай: А=А₁=А₂ – равные амплитуда, w и w+dw – близкие частоты

Периодические изменения амплитуда колебаний, возникающие при сложении 2х гарм колебаний с близкими частотами, называются биением.

А_б=2Аcos ^dw/₂ t

Любые сложные период. колебания можно представить в виде суперпозиции одновременно совершающихся гарм. колебаний.

Сложение взаимно перпендикулярных колебаний

Рассм. колебания одинаковой частоты, происходящие во взаим. перпенд. направлениях вдоль Ох и Оу.

Это ур. эллипса с произвольно расположенными осями.