6 Гетерогенность Теория решетки

6.1 Общие понятия

Гетерогенность может быть геометрическая-механическая и физическая. Аналогия Фейнмана. Геометрическая –когда разные вещества находятся в разных областях пространства.

Для разных нейтронов обычная решетка (ВВЭР) может быть и гомогенной и гетерогенной.

Для тепловых нейтронов с малыми длинами пробега λ соблюдается соотношение λ <<d, где d-шаг решетки. Это соотношение –критерий гетерогенности. То есть нейтрон не имеет шансов пролететь расстояние больше шага решетки и «застрянет» в этой ячейке (см рис.6.1-2). Для них же характерны глубокие провалы тепловых нейтронов в топливе. Критерий разницы потоков в замедлителе по отношению к топливу может служить как критерий гетерогенности.

Для тепловых нейтронов с большими длинами пробега λ соблюдается обратное соотношение λ >>d. Нейтрон может столкнуться и в первой и в 3-5-10 ячейках. Для этих нейтронов поток почти не меняется по решетке, более того, в топливе наблюдается всплеск потока нейтронов.

6.2 Интегральное уравнение для потока моноэнергетических нейтронов

Рассмотрим баланс нейтронов в конечном объеме V,поверхность которого нейтроны извне не пересекают, и получим интегральное уравнение для распределения плотности нейтронов в этом объеме.

Рассмотрим нейтроны, которые пришли в точку г после рассеяния в точке r’. Чтобы попасть в точку гв момент времени г, нейтроны должны покинуть точку r’в момент t' = t—|r'—r|/v. Число нейтронов, рассеявшихся около точки г' в элементе объема dV’за время dt’равно ∑_sФ(r’)dt’dV’где Ф(г') - поток нейтронов в точке г'.

Источники в том же объеме за то же время дадут S(r’)dV'dt'нейтронов. Предполагается, что источники сферически симметричны. Это предположение достаточно хорошо выполняется в большинстве случаев, поэтому не накладывает каких-либо существенных ограничений и не нарушает общности вывода.

Полное число нейтронов, родившихся и рассеявшихся в эле­менте объема dVза время at', есть [∑_sФ(г') +S(v')]dV'dt’.Вероятность того, что эти нейтроны достигнут точки г, не испытав по пути столкновения, равна ехр(—∑_t|г'—г|). Для случая изотропного рассеяния через время t—t'=|г'—г|/v нейтроны, испущенные источником и испытавшие рассеяние в объемсdV’равномерно заполнят сферический слой объемом 4л | г'—r|²vdt'. Следовательно, плотность нейтронов вокруг точки г, обусловленная рождением и рассеянием в элементе объема dV’есть

]* (6.1)

Интегрируя последнее выражение по всему объемуV, откудамогут поступить нейтроны, находим полную плотностьнейтронов в точке г:

(6.2)

Последнее уравнение называют интегральным уравнением Пайерлса для потока нейтронов. В отличие от уравнения диффузии, при выводе уравнения Пайерлса не предполагалось, что поглощение мало по сравнению с рассеянием, не накладывались ограничения и на пространственное распределение источников S. Оно справедливо как угодно близко к границам объема V.Более того, показатель экспоненты под интегралом можно заменить более общим выражением для т.н. «оптической плотности»R как интеграла от переменного сечения и оно становится справедливым для среды с как угодно меняющимися в пространстве характеристиками поглощения и рассеяния.

Точное решение уравнения Пайерлса чрезвычайно затруднительно даже в самых простых случаях. Поэтому на практике точное решение обычно не ищут.

Есть еще один путь замены уравнения Пайерлса его при­ближенным эквивалентом, сведя интегральное уравнение к си­стеме алгебраических. Пусть имеется объем V,который может быть разделен на Lзон таким образом, что в пределах каждой зоны сечения остаются постоянными. Обозначая V_i - объем i-й зоны (i = 0, 1, 2, ..., L—1), заменяем интеграл по всему объему Vв правой части уравнения (6.1) суммой интегралов по объ­емам V_i,используя определение т.н. ядра точечного источника K(r,r’):

(6.3)

Тогда:

Ф(r)= (6.4)

Умножим обе части равенства (6.2) на ∑_tj,где ∑_tj - полное сечение взаимодействия нейтрона с ядром зоны j, и результат проинтегрируем по объему V_j,изменив при этом порядок интегрирования.

Введя средние по зонам значения потокаФ_j и объемные скорости генерации нейтронов источникамиS_j, и сделав ряд преобразований получим:

∑_tjФ_jV_j= (6.5)

Аналогично можно вывести уравнения для других зон, т. е. получить систему Lалгебраических уравнений.

Величина P_ij взятая как среднее по объему Vi,представляет собой вероятность для нейтрона, родившегося (начинающего движение) из зоны i, испытать первое столкновение в зоне j и называется вероятностью первого столкновения (ВПС), а метод, основанный на системе уравнений вида 6.3 методом первых столкновений.

Точность этой системы и ее эквивалентность исходному уравнению полностью определяются точностью предположения о независимости потоков и распределения источников от координат.

Поскольку средние потоки по зонам Ф_i(г) и источники S_i(r)неизвестны, вычислить P_ij невозможно. Поэтому для получения практически важных результатов необходимо сделать упрощающие предположения относительно распределения источников и потока нейтронов в пространстве. Самое простое из них состоит в том, что Ф и S внутри объемов Viне зависят от координат (т.н. предположение плоского потока).

Уточняем, что Р_ijесть вероятность для нейтрона, родившегося в области iот однородных и изотропных источников, испытать свое первое столкновение в области j. Из самого определения вероятности следует, что их сумма должна быть равна 1.

Приближение ВПС чрезвычайно эффективно используется для расчета потоков в ячейках реакторов. Оно полезно и для двух-трех зонных ячеек типа ВВЭР (топливо-зазор- замедлитель), но особенно эффективно для расчетов полиячеек типа РБМК (кластер топлива, вода-графит). Это, например коды ГЕТЕРА и зарубежные типа APPOLO. Формально вероятности Р_ij можно рассчитать как аналитические интегралы, для односвязных областей это достаточно хорошо отработано. Если область неодносвязна, то аналитические формулы не работают и надо искать какие-то приближения.

Для этого удобно ввести понятие средней хорды i-й зоны l_i .По определению l_i-есть средний путь, проходимый нейтроном в i-й зонепри отсутствии в ней рассеяния и поглощения. Таким образом, есть чисто геометрическая характеристика, не зависящая от состава зоны. Можно попытаться получить формулу для l_i. Простое определение: средняя хорда l_i равна (по аналогии с гидравлическим диаметром).

l_i = 4V_i /S_i (6.6а)

где V_i –объем зоны, S_i –ее поверхность.

Используя понятие l_i нетрудно сформулировать условие справедливости предположения о независимости потоков и распределения источников от координат:

l_i*∑_ti≤1 (6.6в)

Особенно эффективно для двухзонной ячейки (где зона топлива обоначается «0», а зона «толстого» замедлителя «1» приближение Вигнера (оно физично и позволяет получать начальные оценки).

P₀₁ = 1/(l₀∑_t0 +1) (6.7а)

P₀₀ = l₀∑_t0/(l₀∑_t0 +1) (6.7b)

Видно, что сумма вероятностей –единица и обеспечиваются предельные случаи для «тонкого топлива» l₀=0 и для «бесконечно толстого» топлива l₀=∞.

Более сложные приближения лишь «улучшают» интерполяцию вероятностей Р около простой модели