34. Метод вариации произвольных постоянных.

Линейное уравнение первого порядка: , где и непрерывны на I. Если f(x)=0 на I, то ур-ние1 наз-ся линейным однородным. Рассмотрим метод решения ур-ния1 – метод вариации произвольной постоянной. Напишем соответствующее однородное уравнение, отбросив неоднородность f(x) и изменив обозначение искомой ф-ции: , и решим уго как уравнение с раздел-ся переменными: где - частное решение ур-ния2, т.к. оно получено из общего при С=1. Теперь ищем решение ур-ния1 в виде , где - неизвестная ф-ция. Это выражение получено из общего решения однородного уравнения2 заменой произв.пост-й С нейзвестной ф-цией . Подставляя значение y из формулы3 в ур-ние1, получаем , , откуда , . Значит, общее решение уравнения1 имеет вид .

36. Теоремы сложения и умножения для несовместных и независимых событий.

Вероятность осущ. Одного их 2х несовместных событий=сумме вероятностей этих событий: Р(А+В)=Р(А)+Р(В)

Док-во.пусть испытание имеет n эл.-х исходов,из кот. М₁-благоприятствуют А,М₂-событи В,тогда М₁+М₂-А+В и Р(А+В)=М1+М2\n=М1\n+М2\n=Р(А)+Р(В).

Веротность совместного осущ. 2х независимых событий=произведению этих событий:Р(АВ)=Р(А)*Р(В).

Док-во.пусть число всех эл-х исходов,в кот.может ощус. А=n_1,а число всех исходов,в кот.может осущ.В=n₂,тогда число эл.-х исходов,в кот.может осущ АВ=n₁n₂.пусть число эл-х исходов благоприятствующих А и В м₁ и м₂,тогда число эл-х исх. Благоприятн.:АВ=м₁м₂ .значит Р(АВ)=м1м2\n1n2=Р(А)Р(В)

Следствие. Очевидно,что (1)можно обобщить на нес-о слагаемых,а(2)на нес-о сомножителей.если событие сост.полную группу,то Р(А1)+Р(А2)+Р(А3)+…+Р(Аn)=Р(А1+А2+А3+…+Аn)=1.если 2 обытия противоположны,то Р(А)+Р(А`)=Р(А+А`)=1.в таком случае р+q=1.

37 Теоремы сложения и умножения. Вероятности двух случайных событий.

Веротяность осущ.хотя бы 1 из 2х случайных событий=сумме вероятностей этих событий,без вероятн.их совместного осущ.:Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ)док-во.А-благоприятн.м1;В-благоприятн.м2.некоторые исходы могут благоприят.и А,и В пусть их К,тогда А+В=м1+м2-К; Р(А+В)=м1+м2-К\n=м1\n+м2\n-К\n=Р(А)+Р(В)-Р(АВ)

Вероятность осущ. 2х совместных величин=вероятности одного из них,умнож на вероятность др.события,вычисленной при условии,что 1-е произошло:Р(АВ)=Р(А)Р(В\А); Р(В)Р(А/В)

38 Формула полной вероятности. Формула Байеса.

Пусть событие А осущ.тогда и только тогда,когда осущ. Одно из событий Н1,Н2…Hnя.образующих полную группу событий и называемых гипотезами.найдем вероятность того события А,кот.осущ.(несовместные события):А=АН1+АН2+…+AHn;P(A)=P(AH1)+P(AH2)+…+P(AHn)=P(H1)P(A\H1)+…+P(Hn)P(A\Hn).получаем:P(A)= -фор-а полной вероятности.

Если Н1,Н2…Нn-попарно несовместные события ,из кот. Хотя бы одно наступает,и А-событие с Р(А)>0,то условна вероятность события Hk при усл,что наступило А,опред.формулой: P(Hk\A)=P(A\Hk)P(Hk)\ -фор-а Бейеса,где Нк-гипотезы,Р(Нк)-априорные вероятности гипотез,Р(Нк\А)-апостериорные вероятности гипотез.

39. Математическое ожидание случайной величины и его свойства.

математическое ожидание случайной вел. Х с законом распределения: Р(Х=х_л)=р_к,к=1,2…n. ,опред.фор-ой:М(Х)= . Если случ.величина Х задана законом распределения:Р(Х=х_к)=р_к,к=1,2,3… ,то M(X)= при усл.,что ряд сходится.

Св-ва математического ожидания:1. МО от постоянной величины=этой величине,т.к эту величину можно считать случайной,значение вероятности кот.=1:М(С)=С.2.МО случ.величины находится между ее наиб.и наим.значением(следует из определения): 3. М(СХ)=СМ(Х).постоянную величину можно выносить за знак МО.4.МО алгебраической суммы 2х или нес-х независимых случайных величин=алгебраич.сумме их МО.Док-во:

Х	x1	…	xn
Р	Р1	…	Рn

Y	y1	…	yn
P`	P`1	…	P`n

X±Y	x1±y1	…	xn±yn
P	p1±p`1	…	pn±p`n

M(X±Y)= (последние две суммы=0)

5.МО произведения 2х несовместных случ.вел.=произведению МО этих случ.вел.:М(XY)=M(X)M(Y)

40. Дисперсия случайной величины и ее свойства.

величина отклонения случ.величины от мат.ожидания:Х-М(Х)→М(Х-М(Х))=М(Х)-М(Х)=0,поэтому вводят дисперсию Д(Х).Дисперсия случ.вел.-это математическое ожидание квадрата отношения случ.вел.от ее мат.ожид.:Д(Х)=М((Х-М(Х)²),тогда среднее квадратическое отклонение:(Х)= .

Св.-ва дисперсии:Д(Х)= М((Х-М(Х)²)=Х²-2М(Х)Х+М²(Х)=М(Х²)-М(2М(Х)Х)+М(М(Х))=М(Х²)-2М(Х)…

1.дисперсия случ.вел=0:Д(С)=М(С-М(С))=М(0)=0.2.постоянную вел.можно выносить за знак Д,возводя в квадрат:Д(СХ)=М((СХ-М(СХ)²)=М(С²(Х-М(Х)²)=С²Д(Х) 3.дисп.от алгебраической суммы2х независ.величин=сумме дисп.этих величин. Д(Х±Y)=Д(Х) ±Д(Y)

X	0	1	2	3
P (X=xk)	0,2	0,4	0,3	0,1

41. Функция распределения и ее свойства.

фун-ия распределения F(X)=P(X<x) Пр:

x≤0, то F(X)=P(X<0)=0

0<x≤1,F(X)=P(X≤1)=0,2

1<x≤2,F(X)=P(X≤2)=0,6

2<x≤3,F(X)=P(X≤3)=0,9

x>3,F(X)=P(X>3)=1

св-ва распределения:1.0≤F(X)≤1,т.к. F(X)-вероятность.2. ф-я распределения-неубывающая.3.P(α≤x<β)=F(β)-F(α).док-во:введем 3события:1-А-состоит в том,что знач.случ.вел. Х э(- ;α),2-В сост.в том,что Х э [α;β), 3-С сост.в том,что Х э (- ;β).таким образом С=А+В.А и В-несовместные→Р(С)=Р(А)+Р(В). Р(- <х<β)=Р(- <х<α)+Р(α≤х<β); Р(α≤х<β)= Р(- <х<β)- Р(- <х<α)=F(β)-F(α)

4. если случ.вел. э( )