14. Признак сравнения рядов.

Наряду с рядом рассмотрим , будем считать, что все u не отриц., и и т.д. Тогда из сходимости ряда 2 следует сход-ть ряда 1. А из расх-ти ряда1 – расх-ть ряда 2.

Док-во: – частичные суммы ряда(1), - ряда(2). Тогда , если ряд(2) сходится, послед-ть ограничена и монотонно возр-щая. Любая монотонная огранич. послед-ть имеет предел. Значит, в случ. сход-ти ряда2, ряд1 сходится. Если же ряд1 расх-ся,то расх-ся и ряд2.

18. Ряды Макларена для основных элементарных функций.

Рядом Тейлора для ф-ции называется степенной ряд вида , если a=0, то получим частный случай Ряда Тейлора: – Ряд Макларена. Для разложения ф-ции в ряд Макларена необходимо: 1) вычислить значения ф-ции и ее последовательных производных в т. x=0; 2) составить ряд Макларена, подставив знач. ф-ции и ее послед. производных в формулу2; 3) найти промежуток сходимости этого ряда по формуле .

22. Двойной интеграл и его свойства.

Ц иллиндроид: часть пр-ва, огранич. снизу областью S, по бокам – областью движ., сверху z=f(x,y)0. V-? Разбиваем область S: . В ячейках разбиения, произв. Образом выберем точки и . Вычислим . Если ячейка разбиения достаточно маленькая, то близко к объему цилиндроида с основанием . – диаметр разбиения S – величина ряда, равная длине наиб. отрезка прямой линии, которую можно целиком поместить во все ячейки . Если найти , то при дост. малом эта величина будет близка к объему цил-ида. . По опред-нию, за объем цил-ида принимается . Если этот предел сущ-т, не зависит от способа разбиения области S на ячейки и от выбора точек в ячейках. Если не требовать неотрицательности ф-ции f(x, y), то аналогично опред. число, именуемое двойным интегралом от ф-ции z=f(x,y). .

Свойства: (1-2 – свойства линейности)1. . 2. Свойство аддитивности: 3. Если , то Св-во монотонности: 4. Если в обрасти S, то . В частности, если подинтегр. ф-ция неотриц., то и дв.инт-л от нее не отриц. 5. . Если в области S, то , где через S обозн. площадь области.из определения след.,что 2-ой инт. Не зависит от способа разбиения обл.→естественно обл.разбивать на ячейки линиями || Ох и Оу,тогда справедливо:

23. Сведение двойного интеграла к повторному.

есть случаи,когда 2-ой интеграл сводится к повторному: ,где Y(y)dy=const=k= .таким образом, 2-ой инт=произведению внутренних инт.но лишь в некот.случаях такое сведение рационально:

x=ⱷ(u,v);y=ῳ(u,v): ,гдеI-якобиан ф-ии.

24. Замена переменной в двойном интеграле.

Предположим,что ф-ия z=f(x,y) непрерывна в обл. S.пусть в этой обл. заданы ф-ии:x=ϕ(u,v).y=ѱ(u,v).тогда f(x,y)=f[ϕ(u,v),ѱ(u,v)]=F(u,v).интегральная сумма для этой ф-ии:

,считаем модуль I : .якобин при введении полярных координат=r,тогда

Пр.:. При 1)x²+y²=1 и 2)x²+y²=4; r=1,R=2,тогда

Пример: значит т.к. x=rcosⱷ;y=rsinⱷ,

25. Тройной интеграл и его вычисление

если f(x,y)=1,то .если в каждой точке области есть непостоянная ,то таким образом можно вывести если ɳ-длинна наиб.отрезка,кот.целиком помещен во все V,то ɳ-диаметр разбиения.и в ,то . Если и Lim не зависит от способа разбиения объемной области на участки и от выбора точек (x_iy_iz_i),то этот Lim наз.3-м инт: .

Вычисление.предположим,что область V явл.стандартной в направление Оz ,т.е. удовлетворяет усл:1).всякая прямая, ||этой оси и имеющая с данной областьюобщие точки,пересек.границу области только в 2х точках. 2).проекция S области V на плоскость Oxy представляет собой стандартную область в направлении Ох или Оу.

Пусть стандартная обл. V ограничена сверху поверхностью z=z₂(x,y),снизу-z=z₁(x,y),тогда верно: . Если область явл.стандартной в направлении Оу и опред.неравенствами а≤х≤b ,у₁(х)≤у≤у₂(х),то :

Значит,для вычисления 3инт.,его сводят к повторному:

Св-ва 3-х инт.соотв. св-ам 2-х инт.