1.Определенный интеграл и его свойства

Пусть f(x) определена на [a;b]. Разобьём [a;b]на части с несколькими произвольными точками a = x0 < x1 < x2 < xn = b Тогда говорят, что произведено разбиение R отрезка [a;b] Далее выберем произв. точку , i = 0, Определённым интегралом от функции f(x) на отрезке [a;b]называется предел интегральных сумм при , если он существует независимо от разбиения R и выбора точек ξi, т.е. .

Функция f(x) называется интегрируемой на [a;b].

О пределённый интеграл численно равен площади фигуры, ограниченной осью абсцисс, прямыми x = a и x = b и графиком функции f(x).

I. Величина определенного интеграла не зависит от обозначения переменной интегрирования, т.е.  , где х, t – любые буквы.

II. Определенный интеграл с одинаковыми пределами интегрирования равен нулю.

III. При перестановке пределов интегрирования определенный интеграл меняет свой знак на обратный.

IV. Если промежуток интегрирования [a,b] разбит на конечное число частичных промежутков, то определенный интеграл, взятый по промежутке [a,b], равен сумме определенных интегралов, взятых по всем его частичным промежуткам. (адитивность)

V. Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла.

VI. Определенной интеграл от алгебраической суммы конечного числа непрерывных функций равен такой же алгебраической сумме определенных интегралов от этих функций.

11.Дифференциал ф-и нескольких переменных

Дифференцируемая функция:

Если полное приращение ф-ции, т.е. величина , представимо в виде: (где А и В не зависят от и ,О – величина бесконечно малая более высокого порядка, чем её аргумент, при стремлении аргумента к нулю), то функция назыв. дифференцируемой в т. X(x,y), а .(1)

Положив в равенстве 1 , разделив на обе части равенства и перейдя к пределу, получили, что , аналогично →найдя диф.фун-и z=x, получ. dx=∆x и dy=∆y→dz=

2.Теорема о среднем значении

Если f(x) - непрерывная функция, заданная на промежутке [a, b], то существует такая точка , что . Док-во: т.к. f(x) непрерывна на [a,b], то она достигает своего макс и мин значения на этом отрезке. Значит М>= f(x)>=m. Отсюда: m(b-a)<=

Разделим на (б-а) все части нер-ва:

Ф-я f(x) непрерывна. Значит она принимает все значения из промежутка [m,M] в том числе, в какой-то точке С она принимает w значения, стоящие внутри нер-ва. Тогда f( c)= Откуда и следует теорема о среднем.

f( С) – сред.зн.ф-и

4.Об общем виде первообразной

Пусть F — какая-нибудь частная первообразная данной функции на интервале I. Тогда общая первообразная функции f

на I имеет вид F(x)+C, где C — произвольная постоянная.

Док-во: Пусть G(x) –любая первообразная ф-и f. По определению первообразной имеем F’(x)=f(x) и G’(x)=f(x) тождественно на I, а так как ф-и с тождественными производными отличаются на константу , имеем G(x)=F(x)+C, гдеС константа.

5.Основные методы вычисления интегралов

1.Формулой Ньютона-Лейбница. Применяется метод во всех случаях, когда может быть найдена первообразная ф-и F(x) для подынтегральной ф-и f(x). =F(b)-F(a)

2.Замена переменной. Делается подстановка x= Если:1.Ф-я x= = непрерывны при t на [a,b]

2. множеством значений ф-и x= при t на [a,b] явл. отрезок [a,b]. 3. .

7. Вычисление объема с помощью интеграла

Формула вычисления объема тела

Пусть в каждой точке х есть S поперечного сечения, тогда V тела, ограниченного двумя близкими областями, расположенными на расстоянии х, V цилиндра с высотой n=x, и S_осн=S(c_i), где с_i[x; x+x]

Объем тела

В частности, если тело получено вращением криволинейной трапеции, ограниченной сверху кривой , то S каждого сечения

.

8. Несобственный интеграл и его свойства

Всякая непрерывная функция на отрезке ограничена.

Пусть

Интеграл с бесконечным верхним пределом - , если он существует.

Если нет или равен , то назыв. расходящимся.

Если предел существует и конечный – сходящимся.аналогично опред.инт.с ∞нижним пределом.можно дать опред.

Свойства интегралов с бесконечным пределом интегрирования:

1. сходятся и расходятся одновременно,если одна из величин→к∞,то и др.тоже. (

2. Если , то из сходимости следует сходимость интеграла .

Если расходится, то тоже расходится.

Рассм.

22.Расходимость гармонического ряда

Гармоническим рядом называют сумму бесконечного количества членов обратных последовательным числам натурального ряда. Его обозначают  . Гармонический ряд является исторически первым примером численного ряда, члены которого неограниченно убывают и который, несмотря на это, расходится, т.е. для которого  .

Докажем расходимость гармонического ряда.

Если  , где подпредельная функция монотонно возрастает, то  , где e=2.718.... Возьмем от обеих частей неравенства натуральный логарифм:  . Или . При n = 1,2,3, ... n последовательно получим:

После сложения членов левой части неравенств получим  или Если количество членов ряда неограниченно растет, то неравенство показывает, что сумма гармонического ряда неограниченно растет, т.е. 

25.Абсолютная сходимость рядов

Теорема. Если ряд сходится, то сх-ся и ряд1. приэтом ряд(6)сод-т абсолютные величины.

Док-во:рассм.вспомогательный ряд (u₁+|u₁|)+(u₂+|u₂|)+… т.к. 0≤u₁+|u₁|≤2|u₁|…0≤u_n+|u_n|≤2|u_n| из сходимости ряда (6) следует сход. →сходится ряд ,т.к. все его члены<. Если =S,то

Если сходится (6),то (1)наз. Абсолютно сходящимся,если же (1)сход,а(6) расх,то (1)-условно сходящийся.

21. Необходимый признак сходимости ряда.

Если ряд сходится, то , – общий член. (обратное утв. не верно)

Док-во: Рассмотрім 2 частные суммы и . . ; .

Следствие1. Если , то ряд расходится.

.

Следствие2. Если в ряду отбросить конечное число 1х членов, то сходимость/расходимость не нарушится. ,

Док-во: Пусть ряд 1 сходится и его частичные суммы . Пусть , - частичная сумма ряда 2. . Если ряд 1 сходится, то , . Следует, что существует , значит, ряд 2 сходится, ч.т.д. Если ряд 1 расходится, то не существует, а ряд 2 тоже расходится.

12. Метод наименьших квадратов. Случай линейной зависимости. Его применение в химии.

пусть задана таблица

Рассм. Хк и ук,как прямоугольные декартовы координ.точек на плоскости М1(х1,у1),М2(х2,у2)…Mn(xn,yn) предположим,что эти точки лежат на какой-то прямой и между х и у есть линейная зависимость:у=ах+в(1),где а и в-параметры,значение кот.необх.опред-ь.итак,ах+в-у=0(2).т.к. Мк(хк,ук) только ≈ лежат на прямой,определяемой ур. (1)→подставляя в (2)такбличные хк и ук(к=1,2,…),получ. ,где -уклонения,или погрешности.

Нужно подобрать ф и в так,чтоб Е были как модно малы по абсолютной величине.согластно методу маим.квадратов подберем а и в так,чтоб :u= (4),была наим.подставим (3) в (4),получ.:u=(ax₁+b-y₁)²+(ax₂+b-y₂)²+…+(ax_n+b-y_n)².переменная u явл. Фун-й перменных а и в .подберем параметры а и в так,чтоб u принимала возможно меньшее знач.→ .находя частные производные фун-и u по а и в,приравнивая их к 0,получ. нормальную сист.ур-й:

,из кот. Опред. Параметры а и в эмпирической ф-лы (1)

13. Метод наименьших квадратов. Случай квадратичной зависимости. Его применение в химии.

пусть задана таблица

Рассм. Хк и ук,как прямоугольные декартовы координ.точек на плоскости М1(х1,у1),М2(х2,у2)…Mn(xn,yn) предположим,что эти точки лежат на какой-то параболе и между х и у есть ≈ квадратичная зависимость:у=ах²+вх+с(1),где а,в,с-параметры,знач.кот.нужно опред.

В правую часть подставим вместо х табличные значения х_к ,тогда полчим числа z_k=ax_k²+bx_k+c.было бы идеально подобрать знач.параметров а,в,с так,что при всех к оказалось z_k=y_k(к=1,2…n)но при n>3 это сдлеать нельзя,т.к. знач а,в,с найдены из ур-я:y₁=ax₁²+bx₁+c, y₂=ax₂²+bx₂+c, y₃=ax₃²+bx₃+c,как правило,не буду удовлетрорят ур-ям: y₄=ax₄²+bx₄+c…, y_n=ax_n²+bx_n+c,если у(х) не явл. Квадратичным трехчленом.по-другому,z_k-y_k=ɛ_k(k=1,2…n),где ɛ_k-погрешности.параметры а,в,с выберем так,чтоб сумма квадратов уклонений:u= ɛ₁²+ ɛ₂²+…+ ɛ_n²=(z₁-y₁)²+(z₂-y₂)²+…=( ax₁²+bx₁+c-y₁)²+( ax₂²+bx₂+c-y₂)²+( ax_n²+bx_n+c-y_n)² была наим.нужно,чтоб .находя производные ф-и u(а,в,с)по переменным а,в,с и приравнивая их к0,получаем нормальную сист. Ур-й: , из кот.опред.знач. параметров эмпирической формулы (1)

23Признак Коши и Даламбера. Сходимость рядов.

Признак Даламбера. Будем считать, что все в ряду . Пусть существует . Тогда если , то ряд1 сходится. Если – расходится. Если – доп.ислед.

Док-во: 1случай. Пусть . Из того, что сущ-т выписанный предел следует, что , такой, что выполняется нер-во: . Для таких n: . Выберем достаточно маленьким, так, чтобы величина <1. Тогда , для n>N (n=N+1, N+2…), значит u_N+2<qu_N+1, u_N+3<qu_N+2<q²u_N+1 и т.д. Получим, что ряд получен из ряда1 путем отбрасывания 1х u_N+1 членов. Если он сходится, то, по док-му, сходится и ряд1. Но все члены этого ряда4 не превосх. членов ряда , кот.явл. суммой геом.прогр. с знаменателем меньше 1. Т.к. ряд5 сход-ся, то сх-ся и ряд4, и 1. 2случай. . Все так же, только , , то ; ; . Начиная с N+2, все члены р4 > членов р5. Т.к. р5 расх-ся, то расх-ся и р4, р1., ч.т.д.

24.Признак Коши. Пусть в р1 . При ряд сходится, при расх-ся, доп.исслед.lдок-о аналогично док-ву Даламбера.

Сущ. и до. признаки сходимости рядов.

Лейбниц:если модули членов знакочередующегося ряда монотонно не убывают при >их номера,а общий член→0,то этот ряд-сходящийся.

26. Дифференциал. Уравнение с разделяющимися переменными. Его применение в химии.

ур-я, в кот.входят производные или дифференциал,наз.дифференциальными. дифф.ур-ем 1ого порядка наз.ур-е,связывающее независимую переменную,искомую функцией этой пер-ой и ее производную.если y=y(x)-фун-я независ. пер. х,то в общем виде: F(x,y,y^{`</sup>)=0.если уравнение разрешимо относительно y<sup>`},то

Диф. Ур-е 1-го пордка с разделяющимися переменными наз.ур-е вида: X(x)Y(y)dx+X₁(x)Y₁(y)dy=0 (1),где Х и Х1-фун-и только от х,Y и Y1-только от y если X1(x)Y(y) не равно 0, разделив обе части ур-я (1)на это произведение,получим: =0-ур-е с разделенными переменными :при dx фун-я только от х,при dy-только от у.если взять инт.от обеих частей: ,в данной сумме равенством выражается общий инт.ур-я(1),решением ур-я (1) явл. Корни: X1(x)=0,Y(y)=0

9. приближенное вычисл. определ.интегралов

1)Пусть требуется найти определенный интегралот непрерывной функции ƒ(х). Если можно найти первообразную

Ньютона-Лейбница:

2) ф-а прямоугольников. Пусть на отр.[a,b] (a<b) задана непрерывная функция ƒ(х). Требуется вычислить интеграл численно равный площади соотв. кривол. трапеции. Разобьем основание трапеции на n частей длины n=(b-a)/n=xi-x(i-1)(шаг разбиения). В серед. ci=(x(i-1)-xi)/2каждого отр. строим ординату yi=f(ci)графика ф-иy=f(x). построим прямоугольник с S=hy i. Тогда сумма площадей всех n прямо угольников дает площадь ступенчатой фигуры, представляющую собой приближенное значение искомого определенного интеграла.

35. Элементы комбинаторики.

Если из множества, содержащего m элементов, требуется выбрать какие-то k элементов, то возникает вопрос: сколькими способами это можно сделать и какие подмножества при этом получаются. Такие задачи называются комбинаторными, а соответствующий раздел математики – комбинаторикой.Все формулы для подсчета числа решений в комбинаторных задачах опираются на правило произведения: если элемент X можно выбрать k способами, а элемент Y можно выбрать n способами, то пару XY можно составить kn способами.

Размещение с повторением. Из множества, содержащего m элементов, нужно выбрать k элементов, причем выбранный элемент, после того, как его взяли, вновь возвращается в исходное множество (то есть элементы в выбранном множестве могут повторяться). Пользуясь правилом произведения, получим, что каждый из k элементов может быть выбран m способами. Таким образом, общее число комбинаций равно .m^k

Размещение без повторений. Из множества, содержащего m различных элементов, надо выбрать упорядоченное подмножество из k элементов (k£m), то есть такое подмножество, в котором элементы располагаются в определенном порядке, и изменение порядка элементов изменяет подмножество. Кроме этого, элементы в выбранном подмножестве не повторяются. Требуется выяснить, сколько таких комбинаций существует. По правилу произведения получаем, что первый элемент можно выбрать m способами, второй элемент – (m-1) способом, и так далее, а элемент с номером k можно выбрать (m – k + 1) способами. Следовательно, число упорядоченных k-элементных подмножеств, взятых из множества, содержащего m элементов равно m(m-1)(m-2)…(m-k+1). Такие подмножества называются размещениями из m элементов по k элементов, а их общее число можно выразить формулой .

Перестановки. Пусть множество содержит m различных элементов. Рассмотрим все возможные варианты перестановок элементов этого множества. Получаемые при этом упорядоченные множества отличаются друг от друга только порядком входящих в них элементов. Такие упорядоченные множества называются перестановками. Число перестановок из m элементов равно: Pm=m(m-1)(m-2)…3*2*1=m!

Сочетания. Пусть из множества, содержащего m различных элементов, требуется выбрать подмножество, содержащее k различных элементов (k £ m). Получаемые при этом подмножества не упорядочены. Такие неупорядоченные подмножества называются сочетаниями. Число сочетаний из m элементов по k элементов вычисляется по формуле:

28.Радиус и интервал сходимости степенного ряда.

. Исслед-ие сх-ти степенного ряда сводится к исс-ию сх-ти числового ряда, где – числовые коэф-ты, – заданное число. Рассмотрим более простой ряд: . Метод Даламбера: , если , ряд сходится в интервале – интервал сходимости ряда. Если обозначить , то ряд1 сх-ся на интервале (-R;R) – радиус сходимости. .

31. Формулы Эйлера.

Степенной ряд(1) с комплексными членами: .если с=0,то .ряд(1)сводится к степенному,при введении новой пер. Z=z-c.для комплексной пер.Z можно опред-ь f e^z посредством формулы: Док-ть,что ряд сходится при любом z можно по принципу Даламбера,если z=x,то

28. Дифференциальное уравнение Бернулли.

. -общее ур-е бернулли.решается с помощью замены y(x)=u(x)v(x),аналогично М(x,y)dx+N(x,y)Dy=0.полный диф.некот.фун-и,т.е.du=M(x,y)dx+N(x,y)dy,тогда общее решение u(x,y)=C.значит,условие,при кот.сущ-т такая фун-я u

Зная,что + .если частные производные непрерывны,то их смешанные производные=. ,тогда ур-е будет в полных дифференциалах.тогда u(x,y)=C. Пример:(х²-ay)dx+(y²-ax)dy=0,где a=const.решая,получ. u(x,y)=(x³\3)-ayx+(y³\3);общее решение: (x³\3)-ayx+(y³\3)=C;

43. Схема Бернулли. Найвероятнейшее число осуществлений события.

рассм.среднюю однотипичных независимых испытаний,в каждом из кот. Событие А может осущ. С заданной Р или не осущ. с q.т.к. А и А`-противоположны,то р+q=1→q=1-р.если в задаче требуется найти Р того,что в серии их n испытаний А осущ.К раз,то данные последовательности испытаний наз: Рn(K)→схемами Бернулли.Pn(K)=C<sub>n</sub><sup>k</sup>p<sup>k</sup>q<sup>n-k</sup>(где А=К,А`=n-K).вероятность угадать 5 из 36:Р₃₆⁵=…

Рn(m)=C_n^mp^mq^n-m.где Р(m1≤m≤m2),если m1,m+1…m₂-несовместное событие→ Р(m1≤m≤m2)=Pn(m₁)+Pn(m+1)+…+Р(m₂); =(n(n-1)*…*n-m-1+1\(m+1)!)\(n(n-1)+…+(n-m+1)\m!)*p\q=…(n-m\m+1)*p\q

(n-m\m+1)*p\q>1;

np-mp>mq+q;

np-q>m(p+q);

m<np-q-фун-я при таких n –возрастающая.значит m>np-q-фун-я убывающая.→сущ-ет точка экстремума.докажем,что экстремум,т.е. m-целое число.пусть искомая точка –m₀,тогда Рn(m₀)≥Рn(m₀-1)/аналогично Рn(m₀)≤Pn(m₀-1).решим систему 2х неравенств:n(n-1)…(n-m₀+1)\m₀!)*p^m0q^n-m0≥n(n-1)…((n-(m0-1)+1)\(m0-1)!)*p^m0-1q^n-m0+1; p(n-m0+1)≥qm₀; pm-pm₀-qm₀+p≥0; m₀≤p(n-1).аналогично рассм.2е неравенство получ.:m₀≥(n-1)q

44. Формула Пуассона.

пусть n-большое число,р>0,но очень мало,тогда исходя из формулы Бернулли Pn(K)=C_n^kp^kq^n-k,введем λ=np-число средней величины,тогда р=λ\n. -формула Пуассона(распределение Пуассона),где λ=np-параметр распределения.(в таблице а=λ)

20. Интегралы по периоду от основных тригонометрических функций.

Тригоном.ряд: -действит.числа,коэф-ы ряда.тригоном.сист.ф-й наз.мно-во ф-й:1,cosx,sinx,cos2x,sin2x…cosnx,sinnx.

Лемма:1) от произведения любых 2х различ.ф-й=0: док-о:

2) квадрата любой ф-и≠0,причем Док.во:

21. Ряд Фурье.

Пусть задана система ортогональных на функций и на промежутке ф-ция f(x). Тогда ф-цию можно представить в виде ряда Фурье: , где коэфициенты ряда Если на f(x) неч., то : , где Если то ряд Фурье прин. вид , где

27. Линейное дифференциальное уравнение первого порядка.

ур.-е -(где р(х) и q(x)-непрерывные фун-и своего аргумента),лин.диф.ур-е1-го порядка. Его решение ищут в виде произведения 2-х фун-й:y(x)=u(x)v(x),где u,v-новые функции .подставляем в ур-е ,выр. В ()должно=0,тогда:получаем .интегрируя,получ.: подставляем.и находим

30. Структура общего решения линейного неоднородного уравнения второго порядка.

Линейное неоднородное уравнение имеет вид , где коэф-ты и и неоднородность f неприрывны на I, или в оперативной форме . Предположим, что для ур-ния1 известно частное решение , т.е. . Введем новую неизвестную ф-цию z по формуле . Подставляя ф-цию3 в уравнение2, получаем: или . Значит, , или , это однородное линейное уравнение, соотв=щее неоднородному ур-нию1. Общее решение однор.ур-ния зад.формулой: , где и - линейно независимые частные решения ур-ния4. Подставляя значение z в формулу3, получаем все решения уравнения1: . – общее решение неоднородного ур-ния1.

29. Линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка. Структура общего решения.

F(x,y,y`,y``)=0-ур-е 2го порядка.если y``=1,y`=x+C₁,y=x₂\2+C₁x+C₂-(cемейство ф-ций,зависящих от С1 и С2)-общим решение ур-я 2-го порядка наз. Семейство ф-й y=ⱷ(x,C1,C2),-где х-независ.переменная.С1,С2-произвольные постоянные.причем их кол-во нельзя уменьшить путем их непрерывной замены.решить задачу Коши,значит из общего решения зад.Коши выделить то,кот.удволетворяет для: у(х₀)=у₀;у`(х<sub>0</sub>)=у<sub>0</sub>`.где у и у`,х<sub>0</sub>-заданные фиксированные числа.это частно решение.могут сущ-ть реш.,кот.не содержатся в общем реш.,они наз.-особыми решениями:у``+а(х)y`+b(x)y=f(x),где а(х),b(х)-непрерывные ф-ии,-лин.диф.ур-е 2го порядка.общего случая решения нет.,если ур-е имеет вид у``+а(х)y`+b(x)y=0,то это лин.однородное ур-е 2го порядка. Пусть y1(x) и у2(х)-решения ур-я,тогда их линейная комбинация: у=С1у1(х)+С2у2(х),также реш.ур-я.проверка:

31. Линейное однородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Случай различных корней характеристического уравнения.

у``+py`+qy=0(1),где р и q-вещественные чсила=const-однородное диф.ур-е с постоянные коэффиц.общее решение-комбинация частных независимых решений,значит: y=e^kx,k²e^xk+pk e^kx +q e^kx =0,разделим на e^kx(e^kxне равно 0),получим определяющее ур-е:k²+pk+q=0

Если D=p²\4+q>0,то ур-е имеет два корня.тогда y₁=e^k1x,y₂=e^k2x-решения ур-я(1).причем решения линейно не зависимы.об-е реш. у``+а(х)y`+b(x)y=0 будет y=C1 e^k1x+C2 e^k2x

32 Линейное однородное уравнение второго порядка с постоянным коэффициентом. Случай кратных корней характеристического уравнения.

у``+py`+qy=0(1),где р и q-вещественные числа=const-однородное диф.ур-е с постоянные коэффиц.общее решение-комбинация частных независимых решений,значит: y=e^kx,k²e^xk+pk e^kx +q e^kx =0,разделим на e^kx(e^kxне равно 0),получим определяющее ур-е:k²+pk+q=0

если D=0.то должны существовать x_1,2=-p\2,то y_1,2=е^-р\2*х,то у1(х)/у2(х)=z(x).т.к. решения должны быть линейно не завис. У1(х)=у2(х)z(x); y1`=z`y2+zy2`; y1``=z``y2+2z`y2`+zy2``.подставляя в у``+py`+qy=0,получ.z=ax+b,b=0,a=1,z=x,y₂=xe^-p\2*x.решим y``+2y`+y=0.к1=к2=-1.общее решение y1=e^kx=e^-p\2*x;y=C1e^-x+C2xe^-x

33 Линейное однородное уравнение второго порядка с постоянным коэффициентом. Случай комплексных корней характеристического уравнения.

у``+py`+qy=0(1),где р и q-вещественные чсила=const-однородное диф.ур-е с постоянные коэффиц.общее решение-комбинация частных независимых решений,значит: y=e^kx,k²e^xk+pk e^kx +q e^kx =0,разделим на e^kx(e^kxне равно 0),получим определяющее ур-е:k²+pk+q=0.

если D<0,то k_1,2=a±bi,тогда y1=e^axcosbx; y2=e^axsinbx. Общее решение y=e^ax(C1cosbx+C2sinbx).для решения ур-я у``+py`+qy=0 коэффиц. Должны быть =.в противном случае ур-е не имеет реш.