8. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница (док.).
Знакочередующиеся ряды - это ряды, члены которых поочерёдно то положительны, то отрицательны.
Теорема Лейбница.
Если
=0
(1) и un
un+1>0,
n=1,2,…,(2)
то знакочередующийся ряд
(3) сходится.
Доказательство:
Рассмотрим частичные суммы четного порядка ряда (3):
S2k=
.
Их можно записать в виде
S2k=(u1-u2)+(u3-u4)+…+(u2k-1-u2k),
k=1,2,…
В силу условия (2) выражения в круглых скобках неотрицательны и потому S2k S2(k+1), т.е. последовательность частичных сумм четного порядка ряда (3) монотонно возрастает.
Замечая, что частичные суммы S2k можно записать также и в виде S2k=u1-(u2-u3)-…-(u2k-2-u2k-1)-u2k, k=1,2,… , и что выражения в круглых скобках в силу условия (2) неотрицательны, а u2k>0, получаем, что S2k<u1, т.е. последовательность {S2k} ограничена сверху.
Из монотонного возрастания и ограниченности сверху последовательности {S2k} следует, что она сходится.
Пусть
=S
(4). Покажем, что и частичные суммы
нечетного порядка ряда (3) стремятся к
тому же пределу. Действительно,
S2k+1=S2k+u2k+1,
k=1,2…(5),
и так как, согласно (1),
,
то в силу (4) и (5) имеем
(6). Из (4) и (6) следует что
.
Теорема доказана.
9. Функциональные ряды. Основные понятия: область и точка сходимости, равномерная сходимость. Теорема Вейерштрасса (док.).
Функциональным
называется ряд,
члены которого есть непрерывные функции
от x
u1(x)+u2(x)+u3(x)+…+un(x)+…=
un
(x).
Совокупность значений аргумента, при которых функ-й ряд сходится, называется областью сходимости ряда.
Функциональный
ряд
un(x)
называется равномерно
сходящимся
в некоторой области x,
если для каждого сколь угодно малого
числа
>0
найдётся такое целое положительное
число N(
),
что при n>N
выполняется неравенство
=
<
для всех x
из области X.
При этом сумма S(x) равномерно сходящегося функционального ряда есть непрерывная функция.
Достаточным признаком равномерности сходимости является
Признак Вейерштрасса.
Если члены функционального ряда U1(x)+U2(x)+…+Un(x)+… по абсолютной величине не превышают в некоторой области соответствующих членов сходящегося знакоположительного ряда a1+ a2+…+an+…, (an>0) т.е.
|U1(x)| a1, |U2(x)| a2, |U3(x)| a3, … |Un(x)| an, …
То функциональный ряд в области сходиться абсолютно и равномерно (правильно).
Знакоположительный
числовой ряд
называется мажорирующим
рядом
или мажорантой
для данного функционального ряда.
Т.
Вейерштрасса.
Если существует такая числовая
последовательность {an},
что
=0,
аn
(1),
(2)
для всех n=1,2…
и всех х
,
то последовательность {
}
равномерно на E
сходится к функции
.
Доказательство.
В силу условия (1) для любого
существует
такой номер
,
что an<
для всех
.
Но тогда в силу условия (2)
для
всех
и
всех х
,
а это и означает равномерную сходимость
последовательности {
}
к функции
на множестве Е.
10. Свойство равномерно сходящихся функциональных рядов (без док.)
1) Сумма правильно сходящегося ряда есть функция непрерывная в области сходимости.
Свойства почленного дифференцирования и интегрирования правильно сходящихся рядов.
2)
Если ряд
сходится
равномерно к некоторой непрерывной
функции S(x),
и ряд из производных
так
же равномерно сходится, то его сумма
S*(x)
равна производной от суммы исходного
ряда S*(x)
=
=(
)'=
S'(x)
3)
Если ряд
сходится
равномерно к некоторой непрерывной
функции S(x),
то ряд полученый из данного путем
почленного интерирования
равномерно сходится и имеет сумму
S**(x),
равную интегралу от суммы исходного
ряда
S**(x)=
=
=
11. Степенные ряды. Теорема Абеля (док.) (×)
Функциональные
ряды вида
называются степенным рядом по
степеням(z-z0),
где a1
a2...
an
R
-коэффициенты степенного ряда , называются
степенными
рядами.
При
z0=0
получим
.Степенной ряд при z=0
всегда сходится, если x
не равен 0 то ряд может как сходиться
так и расходиться.
Поскольку
замена (z-z0)=t
может свести к виду
то
мы будем рассматривать ряд такого вида.
Т.
Абеля.
Если степенной ряд
(1)
сходится в точке z1≠0,
то он сходится и при том абсолютно в
точке z,
у которого
,
если степенной ряд расходится в т. z2≠0,
то он расходится в т z,
.
Доказательство.
По
условию
-
то по необходимому признаку сходимости
ряда
,
т.к. сх-ся числ. послед. ограничена то
существует M>0
|
а n=0,1,2…
Если
,
то
и следовательно
,
являясь геометрической прогрессией со
знаменателем
<1,
сходится. Поэтому по признаку сравнения
сходится и ряд
,
а это означает абсолютную сходимость
ряда (1) при
.
Пусть
числовой ряд
расходится,
=>
для
любого z
|
.
Предположим противное, те
сходится. По доказательству в 1 части
теоремы из сходимости ч.р.
=>
абсолютная сходимость
,для
любого
,
а значит этот ряд должен сходиться
абсолютно, что противоречит условию =>
он расходится.
12. Свойства степенных рядов(без док.). Ряды Тейлора и Маклорена(×)
Свойства степенных рядов:
1) Сумма степенного ряда является непрерывной функцией в интервале сходимости.
2)Степенные
ряды
и
имеют один и тот же радиус сходимости.
3)Степенные ряды можно почленно дифференцировать в интервале сходимости любое число раз и для S(x).
4)Степенной ряд можно почленно интегрировать по любому промежутку, принадлежащему интервалу сходимости.
Понятие о ряде Тейлора:
Всякая
функция при соблюдении определённых
условий в интервале, содержащем точку
,может
быть представлена в нём в виде степенного
ряда, и этот ряд будет её рядом Тейлора.
Опр-е: Рядом Тейлора функции f(x) называется степенной ряд вида:
Рядом Маклорена функции f(x) называется ряд:
Ряды
Тейлора и Маклорена есть разложение
функции в ряд по степеням (
)
и
соответственно
,или представление функции в окрестности
точек
или
степенным
рядом.
Коэффициенты рядов Тейлора и Маклорена вычисляются через значения производных функции всех порядков в точках = и = 0 соответственно.Но существование производных любого порядка не является достаточным условием разложимости функции в ряд Тейлора.
Достаточное условие разложения функции в ряд Тейлора:
Всякая
функция
,бесконечно
дифференцируемая в интервале
<
r,может
быть разложена в этом интервале в
сходящийся к ней степенной ряд, называемый
рядом Тейлора,если в этом интервале
остаток ряда
стремится
к нулю
.
Остаток
ряда Тейлора можно записать в форме
Лагранжа
где С некоторая произвольная точка рассматриваемого интервала.
Условие
выполняется,если
производные всех порядков функции
ограничены некоторым числом
Если записать ряд Тейлора вместе с остаточным членом,то получим формулу Тейлора:
13. Признак сходимости ряда Тейлора к порождающей его функции (док).
Теорема:
Если степенной ряд по степеням
сходящийся к функции
в окружности т.
,
то он является рядом Тейлора функции
в окружности т.
.
Док-во:
Пусть в окружности т.
степенной ряд по степеням
сходящийся к ∞-ой дифференцируемой
функции
т.е
продифференцируем степенной ряд:
при
получаем:
Ч.т.д.