Числовые и функциональные ряды

1. Основные понятия и определения: определение числового ряда, n-ой частичной суммы, сходящегося и расходящегося ряда.

df Пусть задана бесконечная последовательность вещественных чисел а₁,а₂,а₃,…а_n,..

Выражение вида а₁+а₂+а₃+…+а_n+… называется числовым рядом

Обозн.а₁+а₂+а₃+…+а_n+…= (1) . При этом числа а₁, а₂, …, а_n,…-члены ряда -общий член ряда (n-ый член ряда)

Построим последовательность S₁=a₁;S₂=a₁+a₂;S₃=a₁+a₂+a₃;…;S_n=a₁+a₂+…+a_n;

df Числа S₁,S₂,…S_n-называются частичными суммами ряда (1).

df Если сущ-ет конечный предел посллед-ти частичных сумм, равный , то ряд (1) называется сходящимся. Если не или =∞, то ряд (1) называется расходящимся.

2. Необходимый признак сходимости (с док.)

Если ряд сх-ся, то .

Док-во: Т.к. ряд сх-ся, то , S_n=a₁+a₂+…+a_n;

S_n-1=a₁+a₂+…+a_n-1.

Поэтому S_n-S_n-1=a_n )= .

Следствие. (достаточный признак сх-ти ряда) Если условие

не выполнено, т.е. или не существует, то ряд - расх-ся.

3. Три свойства (о линейной комбинации членов) сходящихся рядов (теоремы доказать)

Теорема2

Если ряд - сходящийся и его сумма равна S,то ряд ( 0) сходящийся и = S

Если ряд - расходится,то -расходится.

Док-во: Пусть - сходящийся . = =

Пусть -расходится = -расходится.

Теорема3

Если ряды и - сходится и их суммы соответственно равны и , то ряд также сходится и =

Док-во: = =

Теорема 4

Если у сходящегося ряда отбросить конечное число первых членов ,присоединить конечное число членов ряда или произвести перестановку членов ряда, то это не повлияет на сходимость ряда.

Опр-е: Для ряда выражение вида называется остатком данного ряда после n-го слагаемого.

Если остаток ряда сходится,то =

Теорема 5 (Сходимость ряда сходимости его остатка)

Если ряд сходится,то и любой его остаток сходится.Если какой-то остаток ряда сходится,то сам ряд сходится,причем если:

, , ,то

Док-во:

Пусть и -частичная сумма ряда и соответственно , ,тогда . Для произвольного фиксированного n.

(сходится к ) и (сходится к )сущ-ют и несущ-ют одновременно.

4. Ряды с неотрицательными членами. Критерий сходимости рядов с неотрицательными членами (теор. Док.)

Ряды с неотрицательными членами: Ряд все члены которого неотрицательны называется знакоположительным.

Критерий сходимости:

Н: Для того, чтобы знакоположительный ряд сходился, необходимо и достаточно, чтобы его частичные суммы ограничены сверху (т.е.

Доказательство: П. знакоположительный ряд сходится. Это значит .

{S_n}- последовательность ч.с. – возрастающая. Тогда S_n<S, т.е. {S_n} – огранич., S=M.

Д: Члены последовательности ч.п. огранич. сверху. Кроме того – возрастающая, монотонно. Поэтому, по теореме Вейерштрасса (всякая монотонная возрастающая, ограниченная сверху последовательность имеет предел): – сходится.

51)Первый признак сравнения (теор. Док.)

Если начиная с некоторого номера N (для ) выполняется неравенство , то из сходимости ряда B => сходимость ряда A; из расходимости ряда A => расходимость ряда B.

Доказательство:

Не умаляя общности положим , с n=1. Если ряд B сходится => числовые суммы ограничены (по критерию сх-ти знакопол. рядов), значит ч.с. ряда A и подавно ограничены (т.к. ) => ряд A – сходится. Ряд A расходится, тогда (по критерию сх-ти знакопол. рядов) ч.с. неогранич. => ч.с. ряда B тем более неогранич. => ряд B – расходится.