11.2. Определение критической скорости по устойчивости

Рассмотрим определение критической скорости для колесной пары упруго связанной с тележкой (рис. 11.2.). Исследование устойчивости движе­ния может быть сведено к исследованию нулевого решения системы урав­нений так называемого возмущенного движения. А.М. Ляпунов показал, что во многих случаях устойчивость может быть ис­следована по линеаризованным уравнениям движения. В задачах малых колебаний, описываемых системой линейных дифференциальных уравнений (11.5 и 11.6), проверка устойчивости решений сво­дится к проверке ограничений значений обобщенных координат в любой мо­мент времени. Для этого характеристические показатели (корни или собственные зна­чения), найденные из уравнения, должны удовлетворять условиям:

1. Если вещественные части всех корней характеристического уравнения отрицательны, то невозмущенное движение устойчиво независимо от членов выше первого порядка малости.

2. Если среди корней характеристического уравнения найдется хотя бы один с положительной вещественной частью, то невозмущенное движение неустойчиво независимо от членов выше первого порядка малости.

3. Если один или несколько корней имеют нулевые вещественные части, то об устойчивости исходной системы нельзя судить по линейному приближению.

Рассмотрим определение характеристических показателей для выражений (11.5 и 11.6). Решение системы уравнений (11.5 и 11.6) будем искать в виде:

; (11.7)

. (11.8)

После подстановки этих выражений в систему уравнений (11.5 и 11.6) получим систему алгебраических уравнений для определения характеристических показателей из условия равенства нулю определителя системы

; (11.9)

Раскрыв этот определитель, получим характеристическое уравнение

(11.10)

Рис. 11.4. Зависимость максимальной вещественной части от скорости движения

Для вычисления корней данного алгебраического уравнения можно воспользоваться любой математической программой для ЭВМ (Maple или Mathcad). Задаваясь массовыми, инерционными и геометрическими параметрами колесной пары ( ), параметрами жесткости связей ( ) изменяя скорость движения , определяем корни уравнения (11.10). Зависимость максимальной вещественной части корня от скорости движения позволяет определить критическую скорость движения колесной пары (рис. 11.4.). А именно, точка пересечения кривой с осью скорости определяет критическую скорость движения , т.е. скорость при которой вещественная часть хотя бы одного корня становится равной нулю. Для локомотивов должно выполняться условие , где - конструкционная скорость движения.

Контрольные вопросы

1. Что такое устойчивость движения?

2. Почему движение одиночной колесной пары неустойчиво при любой скорости?

3. Что такое набегание гребня бандажа на рельс, и при каких условиях оно происходит?

4. Чем опасна потеря устойчивости?

5. Что такое критическая скорость?

6. Что такое автоколебания?

7. От каких параметров зависит критическая скорость?

8. Что делают для обеспечения устойчивости движения?

9. Какие силы действуют на колесную пару связанную упруго с рамой тележки?

10. В чем заключается сущность метода А.М. Ляпунова?

11. Как определяется критическая скорость движения тележки по условию устойчивости?

12. Какое условие должно выполняться при расчете устойчивости для реальных локомотивов?