10.3. Дифференциальные уравнения движения колесной пары

Рассмотрим движение одиночной колесной пары локомотива с учетом горизонтального взаимодействия ее с рельсовым путем (рис. 10.4).

Рис. 10.4. Силы, действующие на колесную пару при извилистом движении

При боковом относе колесной пары по направлению оси и угловом смещении относительно оси (против часовой стрелки) возникают соответственно сила инерции , направленная против ускорения и момент инерции , направленный против вращения колесной пары. Сила и момент инерции определяются

. (10.19)

. (10.20)

где - масса колесной пары, - момент инерции колесной пары относительно оси .

Кроме инерционных сил и моментов на колесную пару действуют проекции сил в точках контакта бандажей с рельсами (силы крипа). Проекции поперечных сил в точках B и D - , (рис. 10.4.) направлены против сдвига колесной пары. Проекции продольных сил , направлены по направлению движению колесной пары. Проекции сил крипа определяются выражениям (10.1) и (10.2). В формуле (10.2) знак “-” учтен направлением сил и на рис. 10.4.

Дифференциальные уравнения извилистого движения колесной пары при использовании линейной теории крипа (теории Картера) получаются, используя принцип Даламбера. Уравнение бокового относа имеет вид:

; (10.21)

Уравнение колебания виляния имеет вид:

; (10.22)

Подставляя в полученные уравнения инерционные характеристики по формулам (10.19), (10.20), а так же силы крипа (10.1) и (10.2) с учетом относительных скоростей проскальзывания (крипов) получим уравнения движения одиночной колесной пары

; (10.23)

. (10.24)

Эти уравнения описывают движение колесной пары, сопровождающееся ее боковым относом и вилянием (извилистое движение).

Контрольные вопросы

1. Что такое контактное пятно и что представляет собой зона контакта?

2. Что значит упругое проскальзывание или крип?

3. Что называют силой крипа?

4. Как определяются касательные силы крипа?

5. От каких параметров и факторов зависят силы крипа?

6. Что такое коэффициент крипа и от чего он зависит?

7. В чем различие теорий по определению сил крипа Картера и Калкера?

8. Что такое спин и почему его необходимо учитывать в расчетах?

9. Как называется относительная скорость проскальзывания, при которой происходит срыв сцепления?

10. Чем объясняется разброс ?

11. Какими видами колебаний характеризуется движение одиночной колесной пары?

12. Какие силы действуют на одиночную колесную пару при движении по прямому участку пути?

10. Особенности боковых колебаний локомотивов

РЕКОМЕНДОВАННЫЙ БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

[1, гл. 5 § 5.2, § 5.3]

[2, гл. 3, п.п. 3.7]

[4, гл. 4]

Рассматриваемые вопросы:

1. Дифференциальные уравнения движения колесной пары упруго связанной с тележкой;

2. Определение критической скорости по устойчивости.

11.1. Дифференциальные уравнения движения колесной пары упруго связанной с тележкой

Решение дифференциальных уравнений движения одиночной колесной пары (формулы 10.23 и 10.24) показывает, что это движение будет неустойчиво при любой скорости движения. Координаты бокового относа и виляния с увеличением скорости начинаю возрастать (рис. 11.1.). Это связано с тем, что диссипативные силы с увеличением скорости уменьшаются.

Рис. 11.1. Изменение координаты бокового относа одиночной колесной пары от времени

Устойчивость это стремление системы возвратиться в исходное состояние после того, как она была из него выведена, либо свойство системы оставаться вблизи этого исходного состояния.

По устойчивости или неустойчивости движения одиночной колесной пары нельзя судить о характеристиках боковых колебаний локомотива, так как колесная пара связана с тележкой, а последняя – с кузовом локомотива.

Поскольку движение одиночной колесной пары неустойчиво, то амплитуды относа и виляния через некоторое время могут стать равными половине зазора в колее, т.е. процесс извилистого движения будет сопровождаться набеганием гребня бандажа на рельс. Набегание гребня связано с появлением дополнительных реакций (кроме сил крипа). Значения этих реакций зависят от формы профиля бандажа и рельса, жесткости пути в поперечном направлении.

При набегании гребня бандажа на рельс резко возрастают силы взаимодействия колесной пары и пути. В этом случае могут быть превзойдены допустимые значения показателей безопасности движения.

При исследовании боковых колебаний обязательно должна выполняться проверка на устойчивость (вертикальные колебания всегда устойчивы). Исследования показывают, что практически у всех локомотивов существует так называемая критическая скорость , при которой происходит потеря устойчивости прямолинейного равномерного движения и значения отдельных координат начинают возрастать. Нарастание амплитуд колебаний ограничиваются гребнями бандажей. Амплитуды колебаний колесных пар определяются поперечным зазором в рельсовой колее. В этом случае колебания будут иметь одинаковую амплитуду (амплитуда ограничивается зазором в колее) и частоту. Такие колебания называются автоколебаниями. Автоколебания опасны тем, что вызываемые ими силы интенсивно нарастают с увеличением скорости движения локомотива, вследствие чего снижается безопасность движения.

Рис. 11.2. Силы, действующие на колесную пару связанную с тележкой упругими связями

Как указывалось, движение одиночной колесной пары неустойчиво при любой скорости. Для обеспечения устойчивости необходимо закрепить колесную пару в тележке с помощью продольных и поперечных связей (поводков). Рассмотрим, как влияет скорость на устойчивость колесной пары (рис. 11.2.), связанной с тележкой с помощью упругих продольных связей с жесткостью (жесткость сайлент – блоков поводков) и поперечных с жесткостью (жесткость торцевых шайб). При относе колесной пары по направлению оси и угловом смещении относительно оси , кроме сил для одиночной колесной пары (рис. 10.4.), дополнительно возникают упругая сила , направленная против смещения колесной пары и момент упругих сил , направленный против вращения колесной пары. Сила упругости в поперечной связи колесной пары с рамой тележки определяется

. (11.1)

Момент упругих продольных сил определяется

(11.2)

Уравнение бокового относа связанной колесной пары имеет вид:

; (11.3)

Уравнение колебания виляния с учетом момента упругости имеет вид:

; (11.4)

Окончательные уравнения движения колесной пары связанной с тележкой упругими связями имеют вид

; (11.5)

. (11.6)

Рис. 11.3. Изменение координаты бокового относа колесной пары связанной с тележкой от времени

Решение полученных дифференциальных уравнений показывает, что движение колесной пары устойчиво до определенной скорости (рис. 11.3.). Критическая скорость также зависит от жесткости связей. Если жесткость связей становится большой, вновь получается неустойчивая система. Неустойчивость такой системы легко показать, составив уравнения более подробной модели тележки с колесными парами.

Критическая скорость зависит от конусности бандажей, а также от инерционных, упругих, диссипативных и геометрических параметров локомотивов. Влияют на устойчивость также характеристики и параметры связей тележек с кузовом. Поэтому определять критическую скорость необходимо для экипажа в целом. Величины этих параметров выбирают таким образом, чтобы находилась вне диапазона скоростей движения, принятых в эксплуатации. При исследовании устойчивости задают начальные условия на относ первой колесной пары и изменяя скорость движения анализируют процесс колебаний относа и виляния. Критическому значению скорости локомотива соответствует определенный характер потери его устойчивости с преобладающим ростом амплитуд по одной из обобщенных координат: относ колесной пары, тележки кузова; виляние колесной пары, тележки, кузова. В реальных условиях основную опасность представляет потеря устойчивости движения колесных пар и тележки.