
- •Основные задачи динамики локомотивов
- •Виды колебаний локомотивов
- •Возмущения, вызывающие колебания
- •Характеристики элементов соединений
- •Контрольные вопросы
- •Методика составления уравнений колебаний динамической модели экипажа
- •2.1. Принцип Даламбера
- •Динамическая модель экипажа
- •Составление уравнений вертикальных колебаний модели с одной степенью свободы при кинематическом возмущении
- •Контрольные вопросы
- •Составление уравнений вертикальных колебаний упрощенных динамических моделей
- •Уравнение колебаний модели с одной степенью свободы при силовом возмущении
- •Уравнения колебаний модели плоского двухосного экипажа
- •Контрольные вопросы
- •Свободные колебания динамических систем
- •4.1. Общие положения
- •4.2. Свободные колебания в недемпфированной системе
- •4.3. Свободные колебания в системе с гидравлическим гасителем
- •Контрольные вопросы
- •Матричная форма записи уравнений колебаний
- •5.1. Матричная форма записи уравнений колебаний в общем виде
- •5.2. Принцип составления уравнений колебаний в матричной форме на примере одноосной модели с двумя степенями свободы
- •Контрольные вопросы
- •Вынужденные колебания динамических систем
- •6.1. Понятие о возмущенном движении и методах исследования вынужденных колебаний
- •6.2. Частотный метод исследования вынужденных колебаний
- •6.3. Частотные характеристики модели с одной степенью свободы при кинематическом возмущении
- •Контрольные вопросы
- •Методика получения выражений амплитудных частотных (ачх) и фазовых частотных характеристик (фчх)
- •7.1. Преобразование чх системы с одной степенью свободы при кинематическом возмущении
- •7.2. Ачх и фчх системы с одной степенью свободы
- •7.3. Анализ ачх и фчх обобщенных координат
- •7.4. Чх динамической системы при силовом возмущении
- •Контрольные вопросы
- •Колебания при случайных возмущениях
- •8.1. Характеристики стационарных случайных процессов
- •8.2. Статистические характеристики случайного возмущения
- •8.3. Расчет показателей динамических качеств экипажной части
- •Контрольные вопросы
- •Боковые колебания локомотивов
- •9.1. Кинематическое описание процесса качения колесной пары по рельсам
- •Контрольные вопросы
Контрольные вопросы
Как записывается система дифференциальных уравнений в матричной форме (в общем виде)?
От чего зависит размер матриц , и ?
Как учитывается особенность независимости возмущения по левому и правому рельсу?
Что позволяет исследовать модель с двумя степенями свободы?
В чем заключается правило записи в матричную форму?
В каком случае матрицы и будут пропорциональными?
Вынужденные колебания динамических систем
РЕКОМЕНДОВАННЫЙ БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
[1, гл. 2 § 2.4, гл.4 § 4.1]
[2, гл. 3, п.п. 3.3]
[4, гл. 1, п.п. 1.6]
[7, гл. 2, п.п. 2.1]
Рассматриваемые вопросы:
Понятие о возмущенном движении и методах исследования вынужденных колебаний;
Частотный метод исследования вынужденных колебаний;
Частотные характеристики модели с одной степенью свободы при кинематическом возмущении.
6.1. Понятие о возмущенном движении и методах исследования вынужденных колебаний
Динамические модели реальных локомотивов с точки зрения механики представляют собой системы с большим числом степеней.
Если внешнее воздействие представляет собой процесс конечной или бесконечной длительности, то движение системы называют вынужденным. При конечном времени внешнего воздействия в линейной системе происходят неустановившиеся колебания (движение по одиночной неровности конечной длины, движение в переходной кривой, трогание с места и торможении). При бесконечном времени действия возмущений в механической системе могут возникать установившиеся колебания (при непрерывном движении в течении длительного времени по пути с геометрическими неровностями). При рассмотрении установившихся процессов движения в системе с демпфированием считается, что все переходные процессы, обусловленные свободными колебаниями, прекратились (затухли).
Реакция системы на входное возмущение описывают вынужденные колебания системы. Они представляют собой частное решение системы неоднородных уравнений (т.е. с правой частью) обращающих данную систему в тождество
. (6.1)
Для нахождения (обобщенных координат) использую следующие методы:
Аналитическое решение, т.е. непосредственный подбор аналитического выражения преобразующего систему (6.1) в тождество. Применяется при k≤2.
Интегрирование системы уравнений (6.1) на ЭВМ. Используют для линейных и нелинейных систем при любом k. При этом генерируют заданный вид возмущения и интегрируя систему (6.1) получают графики изменения всех выходных координат .
Операторный метод. Находят изображение реакции по передаточной функции системы.
Частотный метод. Используется для исследования установившихся вынужденных колебаний линейных систем любого порядка.
Так как локомотив представляет собой систему с большим числом степеней свободы, то наиболее приемлемыми методами, являются непосредственное интегрирование на ЭВМ и частотный метод.
6.2. Частотный метод исследования вынужденных колебаний
В качестве возмущений рассматриваются факторы, математическое описание которых может быть задано с той или иной степенью точности некоторыми определенными функциями.
При исследовании колебаний частотным методом основной задачей является – получение аналитического выражения колебательного процесса при движении по пути с аналитически заданным возмущением. Для определения этого аналитического выражения служат частотные характеристики (ЧХ) динамической системы, которая связывает заданный конкретный колебательный процесс (перемещения , скорости , ускорения и силы) с конкретно заданным возмущением.
Для получения ЧХ необходимо иметь уравнения колебаний и преобразовать его таким образом, чтобы левая часть содержала полином, описывающий собственные колебания, а правая полином, описывающий возмущающие воздействия. ЧХ системы будет представлять собой отношение полинома правой части к полиному левой.
Рассмотрим
частотный метод в общем виде для системы
с k
степенями
свободы. Частное решение
системы
уравнений (6.1) находят, используя ЧХ
системы
.
Их получают на основе решения системы
(6.1) при действии единичного возмущения
.
(6.2)
где
- матрица единичного возмущения;
-
круговая частота,
;
-
мнимая единица,
.
Возмущения называются единичными, так как на главной диагонали матрицы стоят единицы, то есть амплитуда равна единице.
Под действием этого возмущения возникнут колебания и решение системы уравнений (6.1) можно представить в следующем виде
.
(6.3)
Найдем
производные (скорость
и ускорение
)
выражения (6.3).
.
(6.4)
.
(6.5)
Подставляя (6.2)…(6.5) в систему (6.1), получим
.
(6.6)
Из данного выражения
можно определить
.
(6.7)
где
- матрица ЧХ,
связывающая возмущение
с обобщенной
координатой
(перемещение) при единичном возмущении.
Элементы
матрицы
комплексные
числа. Действительные ее части описывают
значения реакций находящихся в фазе с
возмущением. Мнимые – сдвинутые на
.
Таким образом, каждый элемент матрицы содержит информацию об амплитуде и фазе колебаний происходящих по данной обобщенной координате от соответствующего возмущения. ЧХ показывает как система преобразует по амплитуде и фазе входное возмущение в обобщенные координаты .