Контрольные вопросы

1. В результате чего могут появляться свободные колебания?

2. Как определяется собственная частота недемпфированной системы?

3. Что называют периодом колебаний?

4. Что такое амплитуда колебаний?

5. Что такое коэффициент относительного затухания и как он определяется?

6. Что такое коэффициент критического затухания и как он определяется?

7. Какие процессы будут наблюдаться в системе при условии 1?

8. Какие процессы будут наблюдаться в системе при условии >1?

9. Какими параметрами характеризуется система, имеющая гаситель колебаний?

5. Матричная форма записи уравнений колебаний

РЕКОМЕНДОВАННЫЙ БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

[1, гл. 2 § 2.4, гл.4 § 4.1]

[4, гл. 1, п.п. 1.6]

[7, гл. 2, п.п. 2.2]

Рассматриваемые вопросы:

1. Матричная форма записи уравнений колебаний в общем виде (для системы с конечным числом степеней свободы);

2. Принцип составления уравнений колебаний в матричной форме на примере одноосной модели с двумя степенями свободы.

5.1. Матричная форма записи уравнений колебаний в общем виде

Динамические модели реальных локомотивов с точки зрения механики представляют собой системы с большим числом степеней свободы. Рассмотрим систему с k степенями свободы (с конечным числом степеней свободы). Колебания такой системы описываются системой дифференциальных уравнений общим числом k.

Такую систему удобно записывать в матричной форме. В общем виде система дифференциальных уравнений может быть записана в так называемой прямой форме

, (5.1)

где - инерционная матрица; - диссипативная матрица;  - матрица жесткостей; - вектор обобщенных сил, зависящих от скорости движения и эквивалентной геометрической неровности (матрица неровностей); - матрица столбец (вектор) ускорений обобщенных координат; - матрица столбец (вектор) скоростей обобщенных координат; - матрица столбец (вектор) обобщенных координат.

, и - квадратные матрицы размером kk.

Правую часть можно рассматривать и как прямоугольную матрицу с числом столбцов, равных числу независимых комбинаций возмущения. Если считать кинематические возмущения по левой и правой рельсовым нитям независимыми, то таких столбцов будет два. В этом случае в левой части уравнения (5.1) вместо столбцов обобщенных координат, скоростей и ускорений также будут матрицы размером k2.

Если возмущения по обеим рельсовым нитям одинаковы, то вектор обобщенных сил находят путем линейного преобразования эквивалентной геометрической неровности, т.е.

, (5.2)

где и - векторы размером k1, элементы которых состоят из ординат неровности и ее производной соответственно; и - матрицы размером kk преобразований кинематического возмущения в обобщенные силы, элементы которых зависят от параметров экипажа.

В этом случае модель экипажа можно свести к плоской. Матричную форму записи уравнений удобно использовать в динамических моделях с количеством степеней свободы k>1.

5.2. Принцип составления уравнений колебаний в матричной форме на примере одноосной модели с двумя степенями свободы

Рисунок 5.1. Линейная одноосная модель как система с двумя степенями свободы

Рассмотрим принцип составления уравнений колебаний в матричной форме на примере одноосной модели с двумя степенями свободы (рисунок 5.1). Такая модель используется при исследовании совместных колебаний подпрыгивания кузова и тележек при движении по абсолютно жесткому пути подвижного состава, имеющего две ступени подвешивания. В модели масса - суммарная масса всех тележек локомотива, масса - масса кузова. Каждая из масс может совершать вертикальные колебания, поэтому система имеет две степени свободы. Пружина с жесткостью и гаситель с коэффициентом затухания эквивалентны буксовому подвешиванию, а пружина и гаситель с характеристиками и эквивалентны центральному подвешиванию. Рассмотрим колебания динамической системы при кинематическом возмущении. Составим уравнения сил, действующих на каждую массу, в соответствии с принципом Даламбера. Для этого необходимо поочередно зафиксировать (“мысленно закрепить”) каждую массу.

Для массы при фиксировании уравнение действующих сил будет иметь вид

. (5.3)

Аналогично фиксируя , получим уравнение для массы

. (5.4)

Выражения для сил, входящих в уравнения (5.3) и (5.4), с учетом того, что и имеют вид

, (5.5)

, (5.6)

, (5.7)

, (5.8)

, (5.9)

. (5.10)

Подставляя выражения (5.5)…(5.10) в уравнения (5.3) и (5.4), получим уравнения колебаний динамической модели.

Для массы имеем

. (5.11)

Для массы имеем

. (5.12)

Полученные уравнения колебаний в совокупности представляют собой систему дифференциальных уравнений (в данном случае их два, так как k=2).

Как видно из этой системы уравнений, колебания обоих масс связаны, так как в оба уравнения входят обобщенные координаты перемещений , скоростей и ускорений . Между координатами этой системы имеется упруго-диссипативная связь. Запишем систему в матричной форме.

Правило записи в матричную форму:

1. Записываются полученные уравнения в систему, при этом в каждом уравнении на первом месте стоят члены, относящиеся к координате начиная с производной наибольшего порядка.

2. Заготавливаются формы матриц , и размером kk (в рассматриваемом примере - 22), а матриц , , размером k1 (в рассматриваемом примере - 21).

3. Заполняются матрицы, начиная с координаты далее и т.д. - , - .

Для рассматриваемого примера уравнения колебаний (5.11) и (5.12) в матричной форме будут иметь следующий вид

(5.13)

Матрица является диагональной, если отсутствуют инерционные связи между координатами. При наличии этих связей в матрице появятся элементы не стоящие на диагонали.

Матрица и являются пропорциональными если гидравлические гасители стоят параллельно каждому упругому элементу (пружине).

Отклонение любой из масс по своей координате вызывает появление упругих и диссипативных сил, препятствующих этому отклонению. Поэтому такая система является устойчивой. Кроме того, если задать начальной отклонение любой из масс, то колебательное движение будет затухающим из-за наличия гасителей. Поэтому в вертикальной плоскости колебания любого экипажа являются устойчивыми.