3.6.2.Числовые характеристики случайных величин
В Mathcad имеется ряд встроенных функций для расчетов числовых статистических характеристик случайных данных.
Пусть
– вектор действительных случайных
данных (выборка). Тогда для него могут
быть вычислены следующие числовые
характеристики:
– выборочное
среднее значение,
;
– выборочная
медиана (median)
– значение аргумента, которое делит
гистограмму (см. ниже) плотности
вероятностей на две равные части;
– выборочная
дисперсия (variance),
;
– среднеквадратичное
(или «стандартное») отклонение
(standarddeviation),
;
,
– максимальное и минимальное значения
выборки;
mode(X) – наиболее часто встречающееся значение выборки;
3.6.3.Построение гистограммы
Гистограммой
называется график, аппроксимирующий
по случайным данным
плотность их распределения. При построении
гистограммы область значений случайной
величины
разбивается на некоторое количество
сегментов, а затем подсчитывается
процент попадания данных в каждый
сегмент. Для построения гистограмм в
Mathcad имеется несколько встроенных
функций. Рассмотрим наиболее удобную
из них, функцию
.
Функция возвращает матрицу, состоящую
из двух столбцов. Первый столбец содержит
сегменты разбиения данных, а второй –
число попадающих в них данных.
Рассматриваемая функция рассчитывает
гистограмму для сегментов равной длины.
Приведем пример, демонстрирующий применение рассмотренных функций в задаче статистического анализа выборки случайных данных.
Сформулируем следующую задачу:
получить выборку из 100 случайных чисел, имеющих нормальный закон распределения вероятностей со средним значением 5 и дисперсией 2;
определить числовые характеристики выборки;
построить гистограмму.
Ниже приведен пример решения поставленной задачи в пакете Mathcad.
Для отображения графика в виде гистограммы необходимо:
построить двухмерный график;
перейти в режим форматирования и выбрать вкладку Traces (Линии);
раскрыть список Type (Тип) и выбрать тип диаграммы bar.
Если
на гистограмме необходимо отображать
не число, а частоту попаданий данных в
соответствующие интервалы, то второй
столбец матрицы
необходимо
пронумеровать, как показано ниже.
3.7.Поиск экстремума функции
Задачи
поиска экстремума функции означают
нахождение ее максимума (наибольшего
значения) или минимума (наименьшего
значения) в некоторой области определения
ее аргументов. Ограничения значений
аргументов, задающих эту область, как
и прочие дополнительные условия, должны
быть определены в виде системы неравенств
и (или) уравнений. В таком случае говорят
о задаче на условный экстремум. Для
решения задач поиска максимума и минимума
в Mathcad имеются встроенные функции
и
.
С помощью этих функций решается задача
поиска локальных
экстремумов функции.
3.7.1.Экстремум функции одной переменной
Для
поиска экстремума функции одной
переменной рассматриваемые встроенные
функции имеют следующий синтаксис:
и
.
Здесь
– имя функции, для которой находится
экстремум, а
–
имя переменной, по которой выполняется
поиск.
Рассмотрим
следующий пример. Пусть требуется найти
все локальные экстремумы функции
на отрезке
.
Построим на указанном отрезке график функции
Из
графика видно, что на указанном отрезке
функция имеет три локальных экстремума:
два локальных минимума и один локальный
максимум. Для поиска первого локального
минимума укажем, исходя из графика
функции, для переменной
некоторое
начальное приближение к точке
и воспользуемся функцией
как
показано ниже. Затем вычислим значение
функции в найденной точке
.
Аналогичным
образом определяем
,
и
значения функции в этих точках. Результат
показан ниже.
