3.4.Интерполяция

Пусть некоторая функция задана таблицей своих значений, где

xi	x1	x2	…	xn
yi	y1	y2	…	yn

Интерполяция означает построение функции , аппроксимирующей зависимость в промежуточных точках (между точками ). Поэтому интерполяцию еще по-другому называют аппроксимацией. В точках значения интерполяционной функции должны совпадать с исходными данными, т. е. .

Для построения интерполирующих функций в Mathcad имеются несколько встроенных функций, позволяющих «соединить» точки выборки данных ( ) кривой разной степени гладкости.

3.4.1.Линейная интерполяция

Самый простой вид интерполяции – линейная, которая представляет искомую зависимость в виде ломаной линии. Интерполирующая функция состоит из отрезков прямых, соединяющих точки.

Для построения интерполирующей функции служит встроенная функция linterp (X, Y, t) – функция, аппроксимирующая данные векторов и кусочно-линейной зависимостью.

Аргументы функции:

– вектор действительных данных аргумента;

– вектор действительных данных ( ) того же размера;

– значение аргумента, при котором вычисляется интерполирующая функция. Элементы вектора должны быть определены в порядке возрастания, т. е. .

Рассмотрим пример. Пусть в результате некоторого эксперимента получены вектора данных:

и .

Необходимо построить линейную интерполирующую функцию для этих данных на отрезке

Ниже представлено решение поставленной задачи.

3.4.2.Кубическая сплайн-интерполяция

В большинстве практических приложений желательно соединить экспериментальные точки не ломаной линией, а гладкой кривой. Лучше всего для этих целей подходит интерполяция кубическими сплайнами. Смысл кубической сплайн-интерполяции заключается в том, что в промежутках между точками осуществляется аппроксимация в виде зависимости . Коэффициенты рассчитываются независимо для каждого промежутка, исходя из значений в соседних точках.

Для аппроксимации данных векторов и кубическими сплайнами используется функция interp(s, , , t). Аргументы , , t имеют тот же смысл что и для рассмотренной выше функции функция linterp(X, Y, t). Аргумент s – вектор вторых производных, созданный одной из сопутствующих функций: – вектор значений коэффициентов кубического сплайна; – вектор значений коэффициентов квадратичного сплайна; или – вектор значений коэффициентов линейного сплайна.

Выбор конкретной функции сплайновых коэффициентов влияет на интерполяцию вблизи конечных точек интервала интерполяции. Пример кубической сплайн-интерполяции приведен ниже.

3.5.Регрессия

Задачи математической регрессии имеют смысл приближения выборки данных некоторой функцией , определенным образом минимизирующей совокупность ошибок . Регрессия сводится к подбору неизвестных коэффициентов, определяющих аналитическую зависимость . Чаще всего неизвестные коэффициенты определяются из условия минимизации суммы квадратов ошибок . В этом случае метод подбора неизвестных коэффициентов называется методом наименьших квадратов. Заметим также, что существуют и другие методы для подбора коэффициентов [2].