3.Решение инженерных задач численными методами

3.1.Операции с матрицами и векторами.

В настоящее время аппарат матричных вычислений широко используется для решения разнообразных научно-технических задач. Для проведения вычислений с матрицами и векторами в пакете Mathcad предусмотрен ряд встроенных функций. Ниже приведены некоторые из них.

Имя функции	Возвращается...
rows(A)	Число строк в массиве A. Если A – скаляр, возвращается 0
cols(A)	Число столбцов в массиве A. Если A – скаляр, возвращается 0
length (v)	Число элементов в векторе v
last(v)	Индекс последнего элемента в векторе v
max(A)	Максимальный элемент в массиве A
min(A)	Минимальный элемент в массиве A
identity(n)	(nn) – единичная матрица
diag(v)	Диагональная матрица, содержащая на диагонали элементы вектора v
tr(A)	Сумма диагональных элементов матрицы A (след A). Матрица A должна быть квадратной

Рассмотрим примеры некоторых операций с матрицами и векторами.

Для формирования матричных операторов удобно использовать панель инструментов Matrix.

Произведение матриц:

Произведение матрицы на вектор:

Транспонирование матрицы и вектора:

Вычисление определителя матрицы:

Вычисление обратной матрицы:

Скалярное произведение векторов:

Сумма элементов вектора:

Выделение из матрицы и второго столбца и второй строки:

Число строк и столбцов матрицы:

Максимальный и минимальный элемент матрицы:

Число элементов вектора:

Номер последнего элемента вектора:

Создание единичной матрицы:

Создание диагональной матрицы из элементов вектора:

Вычисление следа (сумы диагональных элементов) квадратной матрицы:

Рассмотрим построение графика функции, когда ее рассчитанные значения и значения ее аргумента предварительно записаны в массивы.

Для выполнения поэлементных операций над элементами векторов или матриц в пакете Mathcad существует оператор векторизации, который предписывает Mathcad применять операторы и функции к каждому элементу массива поочередно. Так если V – вектор, то sin(V) – недопустимое выражение. Но если использовать оператор векторизации, Mathcad вычисляет синус каждого элемента вектора V, а результат – новый вектор, чьи элементы – синусы элементов V.

Для применения оператора векторизации к некоторому выражению необходимо:

• установить в нужном месте документа шаблон оператора векторизации (нажать комбинацию клавиш <Ctr>+<–> или воспользоваться палитрой символов );

• заполнить шаблон необходимым выражением.

Например:

3.2.Решение уравнений и систем уравнений

3.2.1.Системы линейных уравнений

Рассмотрим систему линейных уравнений:

,

Запишем ее в матричном виде:

,

где – квадратная матрица размером n×n

– вектор размером n×1

– вектор неизвестных размером n×1

Из курса линейной алгебры известно, что решение рассматриваемой системы уравнений имеет вид:

Ниже приведен пример решения системы линейных уравнений:

в пакете Mathcad.

В Mathcad имеется встроенная функция lsolve(A,B), которая служит для решения системы линейных уравнений. Далее приведен пример решения рассматриваемой системы с помощью этой функции.