17. Правило 72

На начальных периодах жизненного цикла товара, организации, рынка (фазы зарождения и первой половины роста) их развитие нередко подчиняется закономерности близкой по характеру к экспоненциальному закону. Т.е. процент роста r за определенный период времени Т (месяц, квартал, год…) близок к постоянному и пропорционален значению текущей базы отсчета x (измеряемой по выпуску продукции и т.п.):

где α – коэффициент роста. В результате интегрирования получаем

где X₀ – база отсчета в начальный момент времени.

Например, если r=12% годовых, то за три года рост составит ((1+r)/100)^T = 1.2³ ≈ 1.73 раза. В случае инновационного развития устойчивые темпы годового роста могут составлять десятки процентов в течение нескольких лет.

Часто оценивается период, в течение которого при сохраняющихся темпах роста произойдет удвоение, например, емкости рынка.

Существует простой метод экспресс-оценки продолжительности такого периода, известный как «правило 72». При r=12% годовых емкость рынка удвоится за 72/12=6 лет. Более подробно изложенное выше представлено в таблице 1 и на рис. 11.

Таблица 1.

Рис. 11 Графическая иллюстрация «правила 72»

18. Логистическая зависимость

Ряд социальных, экономических, технических, биологических и др. процессов описывается логистической зависимостью. Рано или поздно инновационное развитие, на начальных фазах прогрессивно вовлекающее в себя многочисленные ресурсы, впоследствии сталкивается с их дефицитом, что приводит к обострению конкуренции и замедлению темпов роста. Интенсивность конкуренции пропорциональна числу взаимосвязей N, конкурирующих за ресурсы элементов системы (например, единиц продукции x) друг с другом N=X*(X-1)≈X². Тогда динамическое уравнение фазы роста можно представить в виде

где β – коэффициент, отражающий замедление темпов роста по сравнению с экспоненциальным. Данная зависимость называется дифференциальным уравнением Ферхюльста². После разделения переменных получается выражение вида

а после применения метода неопределенных коэффициентов – аналитическая формула

В результате потенцирования уравнение Ферхюльста приводится к следующей форме:

Из условия равенства величины базы отсчета X₀ в начальный момент времени T=0 определяется коэффициент

после чего находится текущее значение x в любой момент времени:

Если время стремится к бесконечности T→∞ , величина выпуска продукции, емкости рынка и т.п. асимптотически приближается к значению, характерному для фазы зрелости. Данная функция называется логистической (рис. 12).

Рис. 12 Сравнение экспоненциальной и логистической функции роста

19. Кривая обучения

Затраты на изготовление N-го образца (несмещенная формула Райта) составляют

где C_изг1 – затраты на изготовление 1-го образца, являющиеся одновременно постоянным коэффициентом;

N – размер партии;

λ – параметр освоения.

При высокой степени автоматизации производства λ≈0 (производственные затраты на изготовление N-го образца почти не зависят от размера партии).

В отраслях машиностроения с трудоемким и длительным процессом технологической подготовки производства λ≈0,1...0,2 (производственные затраты на изготовление N-го образца уменьшаются с ростом размера партии). Параметр освоения λ возможно определить, если известна стоимость каждого из двух или более образцов и их порядковые номера в серии:

Суммарные затраты на изготовление малой партии из N опытных образцов N=(1...20) равны

Средние затраты в малой партии из N опытных образцов N=(1...20)

Суммарные затраты на изготовление крупной партии из N серийных образцов (N≥1...20) определяются по приближенной формуле, не учитывающей дискретность значений N:

Средние затраты в крупной партии из N серийных образцов (N≥1...20)