§ 22. Розміщення прямої відносно системи координат.

Нехай в афінній системі координат (О,  , ) пряма задана загальним рівнянням Ax+By+C=0 (28).

1. Якщо С=0, то рівняння (28) задовольняє точка О(0,0), тобто пряма проходить через початок координат.

2. Якщо А=0 то направляючий вектор прямої =(-В,0) колінеарний координатному вектору , отже пряма паралельна до осі ОX.

3. Якщо В=0 то направляючий вектор прямої =(0,А) колінеарний координатному вектору , отже пряма паралельна до осі ОY.

4. Якщо А=0 і С=0, то пряма паралельна до осі ОX і проходить через початок координат, отже це сама вісь ОX!

5. Якщо В=0 і С=0, то пряма співпадає з віссю ОY.

Для того щоб побудувати пряму, досить знати два елемента:

Направляючий вектор та деяку точку прямої (тоді будуємо точку і направляючий вектор і через точку проводимо пряму паралельну до вектора), або дві точки, які лежать на прямій (будуємо ці точки).

§ 23. Геометричний зміст знака Ax+By+C

Розглянемо многочлен Ax+By+C, де А і В не рівні нулю водночас. Якщо Ax+By+C=0, то ми маємо рівняння прямої а, яка розбиває площину на дві півплощини (рис.22). Розглянемо вектор ₁=(А,В), він не паралельний до прямої а, так як не колінеарний до її направляючого вектора =(-В,А),

т ак як в противному випадку їх координати пропорційні: , або В²+А²=0. Розв’язком цього рівняння є А=В=0, що суперечить умові.

Відкладемо вектор ₁ від деякої точки Q₀ прямої а. Позначимо кінець вектора через Q. Виберемо деяку точку М(x,y), яка не належить прямій а і розглянемо вектор || ₁, де точка М₀(x₀,y₀) належить прямій а (рис.22). Тоді, за теоремою 1 = t· ₁ (1) . Якщо t >0, то вектори і  t  ₁ колінеарні і точки М та Q лежать в одній півплощині. І навпаки, якщо t<0, то точки М та Q лежать в різних півплощинах. Вектор =(x–x₀, y–y₀), Перейдемо в рівності (1) до координат:

x–x₀= t·А, y–y₀=t·В, або x= t·А+x₀, y=t·В+y₀

Підставивши отримані вирази у многочлен Ax+By+C, отримаємо:

Ax+By+C=А(tА+x₀)+В(tВ+y₀)+С=A²t+Ax₀+B²t+By₀+C=

=(A²+B²)t+A x₀+B y₀+C. Так як точка М₀(x₀,y₀) належить прямій, то її координати задовольняють рівняння прямої, тому Ax₀+By₀+C=0, і A²+B²>0, отже знак многочлена Ax+By+C цілком залежить від t.

Якщо t>0 то точки M і Q лежать в одній півплощині.

Отже, нерівність Ax+By+C>0 визначає відкриту півплощину, обмежену прямою а. Ясно, що нерівність Ax+By+C<0 визначає іншу півплощину, обмежену цією ж прямою а.

З попереднього випливає, що точки М₁(x₁,y₁) і М₂(x₂,y₂) лежать по одну сторону від прямої, заданої рівнянням Ax+By+C=0, якщо (Ax₁+By₁+C)(Ax₂+By₂+C)>0, якщо ж (Ax₁+By₁+C)(Ax₂+By₂+C)<0, то точки М₁(x₁,y₁) і М₂(x₂,y₂) лежать по різні сторони від прямої.

Приклад 21.

Дано кут ACB, де A(4, 6), B(0, -5), C(-2, 2). Які з точок

(3, 0); (-6, 5); (4, 3) належать внутрішній частині кута?

Розв’язання: Запишемо рівняння прямих AC і BC (використаємо рівняння прямої за двома точками).

AС: або

BC: або .

Вкажемо нерівності, які визначають внутрішню частину кута ACB. Розглянемо тричлен Точка B відносно прямої AC лежить в тій півплощині що й внутрішня частина кута. Отже, підставивши її координати в тричлен і визначимо необхідну нерівність: . Маємо: Аналогічно, точка A для тричлена і Таким чином, внутрішню частину кута ACB визначає система:

Перевіримо, які з даних точок належать внутрішній частині кута (їх координати повинні задовольняти систему нерівностей). Отже, точка належить внутрішній частині кута. тому точка не належить внутрішній частині кута. Аналогічно належить внутрішній частині кута.