14.Дифференциальная функция распределения нсв. Свойства дифференциальной функции нсв.

Предел средней плотности равен , и его называют плотностью распределения (дифференциальной функцией распределения) случайной величины X.

Дифференциальной функцией распределения (плотностью распределения) называют первую производную от интегральной функции:

.

Свойства дифференциальной функции нсв

Свойство 1. Дифференциальная функция неотрицательна, т.е.

.

Свойство 2. Несобственный интеграл от дифференциальной функции в пределах от до равен единице:

.

15. Числовые характеристики нсв: математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение, мода, медиана.

. Математическим ожиданием непрерывной случайной величины , возможные значения которой принадлежат отрезку , называют определенный интеграл:

.

Дисперсией непрерывной случайной величины называют математическое ожидание квадрата ее отклонения.

.

Средним квадратическим отклонением непрерывной СВ X называют квадратный корень из дисперсии:

. (2.11)

Кстати, можно доказать, что свойства математического ожидания и дисперсии дискретных величин сохраняются и для непрерывных величин.

Модой непрерывной случайной величины называют такое ее значение M_o, при котором плотность распределения вероятности достигает максимум.

Медианой непрерывной случайной величины называют такое ее значение M_е, относительно которого равновероятно получение большего или меньшего значения случайной величины X, т.е.

.

16. Равномерное распределение и его применение.

Непрерывная случайная величина , которая принимает значения только на отрезке a; b с постоянной плотностью распределения, называется распределенной по равномерному закону.

Таким образом, плотность распределения имеет вид:

.

График дифференциальной функции равномерного закона НСВ X имеет вид:

Интегральная функция распределения НСВ X, которая распределена по равномерному закону, имеет вид:

.

График интегральной функции равномерного закона НСВ X имеет вид:

Математическое ожидание и дисперсия равномерной СВ:

.

17. Показательное распределение и его применение.

Непрерывная случайная величина X, которая принимает только неотрицательные значения с плотностью распределения,

называется распределенной по показательному закону с параметром , где >0.

График дифференциальной функции показательного закона НСВ X имеет вид:

Интегральная функция распределения НСВ, распределенной по показательному закону, имеет вид:

График интегральной функции показательного закона НСВ X имеет вид:

Математическое ожидание и дисперсия показательно распределенной СВ X:

.

18. Функция надежности. Показательный закон надежности. Вероятность отказа.

Функцией надежности называют функцию, определяющую вероятность безотказной работы элемента за время длительностью :

.

Показательным законом надежности называют функцию надежности, определяемую равенством

, (2.14)

где   интенсивность отказа.

Эта формула позволяет найти вероятность безотказной работы элемента на интервале времени, длительностью , если время безотказной работы имеет показательное распределение.