8. Формула Бернулли. Формула Пуассона.

Если производится несколько испытаний, причем вероятность события в каждом испытании не зависит от исходов других испытаний, то такие испытания называют независимыми относительно события .

(формула Бернулли).

Пусть производится n независимых испытаний. Вероятность появления события A в каждом испытании равна p. Тогда вероятность появления события A при n испытаниях ровно k раз находится по формуле:

.

Сделаем важное допущение: произведение сохраняет постоянное значение, а именно . Как будет следовать из дальнейшего, это означает, что среднее число появлений события в различных сериях испытаний, т.е. при различных значениях , остается неизменным.

Теорема 6.3 (формула Пуассона).

Пусть вероятность события при каждом из независимых испытаний равна , где . Тогда

.

9. Простейший поток событий. Интенсивность потока. Формула Пуассона для вычисления вероятностей появления простейшего потока.

. Потоком событий называют последовательность событий, которые наступают в случайные моменты времени.

Примерами потоков могут служить: поступление вызовов на АТС, на пункт скорой помощи, прибытие самолетов в аэропорт, последовательность отказов элементов и многое другое.

Среди свойств, которыми могут обладать потоки, выделим свойства стационарности, отсутствия последействия и ординарности.

Интенсивностью потока  называют среднее число событий, которое появляется в единицу времени.

Вероятность появления событий простейшего потока с постоянной интенсивностью за время длительности определяется формулой Пуассона:

.

10. Закон распределения дискретной случайной величины (дсв). Ряд распределения. Функция распределения. Многоугольник распределения.

. Дискретной (прерывной) (обозначаются ДСВ) называется случайная величина, которая принимает отдельные, изолированные возможные значения с определенными вероятностями. Число возможных значений ДСВ может быть конечным или бесконечным.

Значения ДСВ можно записать в виде конечной или бесконечной последовательности . Для каждого из этих значений определяют соответствующую вероятность .

Законом распределения ДСВ называют соответствие между возможными значениями СВ и их вероятностями .

Закон распределения ДСВ можно задать таблично, аналитически (в виде формулы) и графически.

Если закон распределения ДСВ задают таблично, иначе называют рядом распределения, то таблица принимает следующий вид:

Таблица 1.1

			…		…
			…		…

Для ряда распределения должны выполняться два требования:

1) (вероятности не могут быть отрицательными величинами);

2) .

Если X принимает конечное число значений, то такая ДСВ называется конечнозначной.

В целях наглядности закон распределения ДСВ можно изобразить и графически, для чего в прямоугольной системе координат строят точки , а затем соединяют их отрезками прямых. Полученную фигуру называют многоугольником распределения.

Закон распределения ДСВ задается еще функцией распределения.

Для ДСВ X с законом распределения функция распределения имеет вид

, (1.1)

где суммирование распространяется на все те индексы , для которых .

Графиком функции распределения для ДСВ является кусочно-постоянная функция.