11.Числовые характеристики дсв: математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение, мода

Можно считать, что закон распределения полностью характеризует СВ. Однако часто закон распределения неизвестен и приходится ограничиваться меньшими сведениями. Иногда даже выгоднее пользоваться числами, которые описывают СВ суммарно: такие числа называют числовыми характеристиками СВ. К числу важных числовых характеристик относятся: математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение, мода, медиана.

Математическим ожиданием ДСВ (обозначается ) называют сумму произведения всех ее возможных значений на их вероятности :

. (1.2)

Замечание: Из определения следует, что математическое ожидание ДСВ есть неслучайная (постоянная) величина.

В случае счетнозначной величины, которая может принимать значения x₁, x₂, …, x_n, … с вероятностями p₁, p₂, …, p_n, …,

,

где предполагается абсолютная сходимость ряда, в противном случае считают, что у данной СВ нет математического ожидания.

Математическое ожидание приближенно равно среднему значению СВ.

Прежде чем рассмотреть свойства математического ожидания, введем еще несколько понятий: независимые СВ, произведение независимых СВ, сумма СВ.

Две случайные величины называются независимыми, если закон распределения одной из них не зависит от того, какие возможные значения приняла другая величина. Несколько случайных величин называют взаимно независимыми, если законы распределения любого числа из них не зависит от того, какие возможные значения приняли остальные величины.

Произведением независимых случайных величин и называют случайную величину , возможные значения которой равны произведениям каждого возможного значения на каждое возможное значение . Вероятности возможных значений произведения равны произведениям вероятностей возможных значений сомножителей.

Суммой случайных величин и называют случайную величину , возможные значения которой равны суммам каждого возможного значения с каждым возможным значением . Вероятности возможных значений для независимых величин и равны произведениям вероятностей слагаемых; для зависимых – произведениям вероятности одного слагаемого на условную вероятность второго.

Дисперсией (рассеянием) дискретной СВ называют математическое ожидание квадрата отклонения СВ от ее математического ожидания:

. (1.3)

Для вычисления дисперсии часто бывает удобно пользоваться следующей теоремой.

Дисперсия равна разности между математическим ожиданием квадрата СВ X и квадратом ее математического ожидания:

.

Средним квадратическим отклонением СВ X называют квадратный корень из дисперсии:

. (1.5)

Дадим определение еще одной числовой характеристики, как мода ДСВ.

. Модой M_o ДСВ X называется ее наиболее вероятное значение.

12.Законы распределения дсв: биномиальное распределение, гипергеометрическое распределение.