Дискретный алгоритм и его интерпретация.

М

˅

ы только что спроектировали аналоговую (электрическую, электронную) «машину» для решения уравнения .

Н

˅

о в жизни мы чаще сталкиваемся с ЦВМ, работающими с алгоритмами в виде последовательностей вычислений (процедур последовательных или итерационных).

П

ерепишем статическое уравнение в равносильной форме:

И будем искать C = C* (opt C) с помощью последовательности итераций.

Зададимся начальными значениями:

C = C[0] ([i] – означает, что это С, взятое на некотором i-ом шаге).

C[1] = C[0] – γ[1] f ’(С[0])

C[2] = C[1] – γ[2] f ’(С[1])

…

4

C[n] = C[n – 1] – γ[n] f ’(С[n – 1]),

где γ[n] – шаг алгоритма на n-ой итерации.

Это и есть дискретный алгоритм.

П

4

˅

ри выполнении условий сходимости (устойчивости), т. е. C[n] – C[n – 1] → С* => уравнение → уравнению , то есть стремится к нулю.

И следовательно C[n] → С*.

Определение: Для дискретных алгоритмов, или дискретных схем вводится понятие первой разности:

ΔC[n – 1] = C[n] – C[n – 1]

Первая разность – это дискретный аналог производной. От нее можно перейти к произведению по теореме предельного перехода.

И

5

тогда:

Δ

5

1

5

1

C[n – 1] = – γ[n] f ’(С[n – 1])

Уравнение и уравнение - это фактически одно и то же. От к

можно перейти по той же теореме о предельном переходе.

С

5

труктуру можно представить следующим образом:

ΔC(n – 1)

C(n)

C(0)

C(n – 1)

(подаем, чтобы начал работать)

ЭЗ – элемент задержки.

М ожно перерисовать этот элемент иначе:

ΔC(n – 1)

C(n)

C(n – 1)

Д искретный интегратор (дигратор).

Обозначается по аналогии с интегратором

Эта схема так же автономна, т. е. на ее вход ничего не поступает. Вся необходимая для проектирования информация кроется в блоке f ’(С): и цель проектирования, и условия и т. д.

Д

f ’(C[1])

f ’(C[0])

C[0]

C[1]

C[2]

φ = tg γ

адим геометрическую интерпретацию.

Берем C[0] => находим f ’(C[0]) => делаем шаг на угол φ, пропорциональный γ => берем C[1] => находим f ’(C[1]) и т. д.

Проблема выбора шага алгоритма γ => можем выбрать большой угол, а можем, и наоборот.

Е

C

f ’(C)

φ = tg γ

f ’(C[0])

C[0]

сли γ брать очень большим, то мы можем раскачиваться относительно С*(opt), а можем даже пойти вразнос.

Е

C

f ’(C)

φ = tg γ

f ’(C[0])

C[0]

C[n]

f ’(C[n])

сли брать γ очень мелкую, то можем получить процесс, почти остающийся на месте, и никогда не достичь экстремума. Разрядной сетки ЭВМ может просто не хватить.

Лекция №3. (05.03.14г.)

Векторная форма записи алгоритмов проектирования.

П

ерейдем к более общему случаю, который часто используется на практике. Когда мы имеем не один, а несколько параметров проектирования. Обозначим вектором . То есть будем рассматривать функционал, который является известной нам функцией от этого вектора проектирования:

В общем случае

Для полностью детерминированных систем

Э

тот функционал описывает в N+1-мерном пространстве некую гиперповерхность, экстремум которой надо найти. Классически условие экстремума функция переменных – это:

Аналог производной для векторного случая будет градиент.

Введем понятие градиента от скалярной функции:

Т

˅

огда необходимое условие экстремума или оптимума нашего проектирования в векторной форме будет записано так:

- аналог

Решение этого уравнения дает нам

З

апишем алгоритм в виде рекуррентного соотношения, т. е. дискретный алгоритм:

{Г – гамма}

Необходимо задать к алгоритму для старта алгоритма.

С

учетом введения понятия векторной первой разности

М

ы можем переписать этот алгоритм следующим образом:

П

ервая разность является вычислительным аналогом производной. Поэтому непрерывный алгоритм у нас запишется следующим образом:

Начальные условия будут: . Задали начальные условия для любого дифференциального уравнения.

В

˅

о всех рассмотренных ранее задачах все производные (все ‘), или – это производные по (по параметрам проектирования). А по времени . Это непрерывный алгоритм в векторной форме.

Эти алгоритмы в случае неумения решить уравнение задают движения, согласно которым в конце движения или за ограниченное время (при t = 1) они нам дают значение С* (оптимальное). А нам без разницы как его решить, как найти С*, главное его в конечном итоге найти, а каким способом – это неважно.

Поговорим о виде матрица Г (гамма).

1. Наиболее полный случай. Это когда Г представляет собой матрицу с абсолютно разными коэффициентами. Она, конечно же, квадратная.

γ₁₁ γ₁₂ … γ_1N

Г = ………

γ_N1 γ_N2 … γ_NN

Т. е. мы имеем систему из настроек по каждому параметру проектирования. И каждая настройка зависит от всех остальных параметров (настроек) проектирования. К примеру, если увеличить пробу у золота, то автоматически увеличивается его стоимость.

2. Г представляет собой диагональную матрицу:

γ₁₁ 0 … 0

Г = 0 γ₂₂ … 0

………

0 0 … γ_NN

То есть здесь у нас получается тоже система настроек, и каждая настройка как бы автономна от другой. Просто она происходит с разными шагами алгоритма или разными коэффициентами нашей «машины».

3. У нас тоже диагональная матрица, но уже с одинаковыми коэффициентами (шагами):

γ 0 … 0

Г = 0 γ … 0 = γI, где I – единичная матрица.

………

0 0 … γ

Какой вариант обычно рассматривается во всякого рода системах, когда имеем нормализацию, приводим к деформированным параметрам? Эти алгоритмы и тот, и другой (непрерывные и дискретные) реализуются следующей схемой (структурной схемой алгоритма, или вычислительной схемой, или схемой элементной, как угодно в зависимости от непрерывных или дискретных алгоритмов):

- здесь реализуется знак « – ». Это означает отрицание.

- будем обозначать вектор.

Если это речь идет о «машине», то это у нас некий функциональный элемент, а если об алгоритме – это некий алгоритмический блок.

Еще раз! Структурная схема «/» алгоритм автономна, из вне на нее ничего не поступает. Вся информация о целях, условиях и т. д. проектирования заложена в так называемом функциональном элементе «/» алгоритме. Нам нужно лишь задать какие-то начальные условия . Нажать кнопку «пуск» или тумблер включить на машине, и через некоторое время на выходе мы получим (оптимальное). Это произойдет только в том случае, если сходится к нашему вектору .

Проблема сходимости – большая проблема. Сходимость алгоритмов проектирования для детерминированных и стохастических систем, то есть только для алгоритмов первых двух видов систем.

Тезис. Сходимость алгоритмов и устойчивость выше нарисованной системы с обратной связью – это одно и то же.

Обоснование тезиса: от нашего алгоритма (или от распределенной «машины») мы требуем, чтобы с течением времени (это непрерывный алгоритм) или по истечении скольких-то шагов итерации (это дискретный алгоритм) текущее значение

→ , при n → ∞ (для дискретных систем)

и → , при t → ∞ (для детерминированных систем)

Это значит, что в N-мерном гиперпространстве проектирования параметров расстояние между векторами и должно уменьшаться, т. е. вектора должны сходиться.

М

атематически это можно записать следующим образом (дискретный случай):

Н

орму разности двух векторов можно расписать:

Поскольку у нас здесь под корнем везде неотрицательные числа из-за квадратов, то это выражение обращается в 0 тогда и только тогда, когда все слагаемые обращаются в ноль, то есть:

, , …

А это и есть определение устойчивости точки , которое мы рассматриваем как положение некоего равновесия нашей системы. Т. е., если мы (мы ее заранее не знаем) выведем систему из этой точки в какую-то, выведем в точку , то она обязательно вернется «обратно» в эту точку . Т. е. сходимость и сходимость относительно точки это одно и тоже.

Надеемся, что мы помним из курса ОТУ, что существует огромное количество критериев устойчивости для систем. Например, Михайлова, Рауса, Гурвица, Найквиста и др.

Эти методы основаны на первом методе Ляпунова (устойчивость в малом). Пример:

П ри небольшом отклонении системы (в какой-то небольшой области), она возвращается в начальное состояние:

Это при небольших отклонениях от устойчивого состояния.

Н а втором методе Ляпунова – это устойчивость в целом. Если очень грубо описать, то аналог будет:

И куда бы мы шарик не отклонили, он всегда будет возвращаться, может быть будет долго раскачиваться, но все же вернется в устойчивое состояние. Идея в том, что на параметры накладывается такая сфера, которая со временем сжимается и если хоть один параметр выходит за пределы этой сферы, то система уже считается неустойчивой.

Эти же критерии и методы годятся и для проверки сходимости наших алгоритмов проектирования.

До сих пор мы рассматривали детерминированные и стохастические системы, первые два типа систем. А теперь рассмотрим третий тип систем.