Задача проектирования и ее специфика для всех трех типов систем.

Задача проектирования тесно связана с задачей оптимизации.

Если мы проектируем какое-то изделие, устройство, систему, то мы стремимся сделать это наилучшим образом, т. е. стремимся обеспечить экстремум некоторого параметра.

Рассмотрим этапы решения задачи проектирования:

а) Выбор или формулировка критерия проектирования (то, что нужно экстремизировать);

б) Выбор параметров проектирования (варьируя то, что мы можем экстремизировать);

в) Установление и учет ограничений (связывает с законами природы или недостатком ресурсов);

г) Определение параметров проектирования, при которых мы получаем экстремум критерия.

Рассмотрим для детерминированных систем: при хорошо описанной и структурированной модели системы критерий проектирования можно представить в виде функционала от параметров проектирования (системы):

J = J(C₁, С₂, …, С_N) ≤ 0

Ограничения обычно сводят к системе неравенств:

g_k (C₁, С₂, …, С_N) ≤ 0, k = 1,…, m₁ < N

И нужно найти: C^*₁, С^*₂, …, С^*_N → min J

(т. е. C^*₁, С^*₂, …, С^*_N, которые обеспечивают минимум J)

Пример: Пусть есть некая динамическая система:

1(t) – ступенчатая функция, функция Дирака.

(

1

Колебательное звено – инерционное звено 2-го порядка). Физически можно представить следующие аналоги системы:

Тележка с грузом, которая перемещается в вязкой жидкости. Тележку сдвигают на 1.

И еще один вариант:

1

x

y

Густота жидкости характеризует инерционность нашей системы.

Для первого случая получим:

t

1 – хотелось бы получить такой процесс (идеал), т. е. это уставка;

2 – как маятник;

3 – если жидкость очень вязкая или тело очень большое.

t

ε

1

3

2

1

1 – хотелось бы получить такой процесс (идеал), т. е. это уставка;

2 – как маятник;

3 – если жидкость очень вязкая или тело очень большое.

Если мы возьмем:

M { ε(t) } = dt , то он никогда не будет равен нулю.

(можно взять )

Но не обычный , так как в случае колебания оно близко к нулю.

В ернемся к схеме в начале примера:

1

y₀ ≡ 1

Вот такая у нас получилась система.

C₁ характеризует густоту жидкости или массу тела.

В качестве критерия берем:

J (C₁) = dt

(Зачеркнули, так как функционал не зависит в явном виде от параметра проектирования C₁ ).

Нужно хорошо описать, или структурировать задачу, чтобы функционал зависел от C₁.

Учитывая, что у нас:

ε

2

1

(t) = y₀ – y(t) => y(t) = y₀ – ε(t)

Тогда исходное уравнение относительно ошибки можно переписать в виде:

{

3

производная от константы = 0: d²(y₀ – ε(t))}

Зададим начальные условия:

y(0) = 0;

y’(0) = 0.

Из этих начальных условий, перейдя к ошибке, можно сделать следующий вывод:

y

=>

.

4

(0) = 0; ε(0) = 1;

y’(0) = 0. ε(0) = 0.

(

3

Переходим к точечным обозначениям производных).

У

..

.

5

равнение умножаем на ε(t) и интегрируем по времени. Получаем:

И

..

.

.

.

6

нтегрируем 2-е уравнение:

0

.

0

Т

7

огда система уравнений превратилась в:

8

8

И

з получаем:

Т

огда:

, то есть теперь J зависит от , что мы и хотели.

Д

ифференцируем и приравниваем нулю:

=>

- т. е. - оптимальное

В

малая вязкость

ернемся к задаче по физике:

большая вязкость

t

t

C₁ ≥ A₁ – здесь хорошо показать ограничения

Удалось получить аналитическое решение задачи проектирования. Но это исключение скорее.

1. Детерминированных систем полученному оптимальному значению параметра проектирования C^* будет всегда соответствовать один – единственный, один и тот же оптимальный процесс.

2. Для стохастических систем: для простоты представим, что детерминированная система каждый раз работает при разных начальных условиях:

ε ₁(0) , ε₂(0) , …

ε₁(0) ; ε₂(0) ; …

Но и процессы в этом случае в системе будут каждый раз различными. Если выбор начальных условий случаен, то и порождаемые ими процессы тоже будут случайными.

Для таких задач наиболее используемы два подхода:

1. Минимакс – берут наихудшие случаи начального условия, и для них проводят проектирование, предполагая, что для менее плохих условий оно тоже подходит.

2. Традиционное – понаблюдав некоторое время за системой и определив статистические характеристики, определяют нужное нам значение P(ε). Тогда критерий проектирования формулируют уже в статическом виде:

E

E

Х

Функция F( ) – это выпуклая функция, задающая цель нашего проектирования, сколько мы согласны платить за него. (Часто берут F = ).

С помощью разных ухищрений в уникальных случаях можно привести функционал как функцию от C₁: J = J(C₁), что мы и сделали в примере.

Тогда математически задача проектирования такой системы имеет тот же механизм нахождения C*₁, однако физический случай получаемых решений совершенно иной.

Стохастическая система при оптимальном параметре проектирования каждый раз ведет себя по-разному, но в среднем – наилучшим образом.

В адаптивных системах P(ε) неизвестно => задать в явном виде J нельзя. А задача та же – найти значения параметров проектирования, поставляющих экстремум неизвестному функционалу.

Решение такой задачи возможно лишь через механизм обучения (адаптации). Для адаптивных систем целью их обучения подразумевается достижение неявно заданного критерия проектирования в ходе их функционирования. Информация извлекается в ходе работы.

Лекция №2 (26.02.14г.)