18. Рівновага Неша, теорема Неша. Сильна рівновага Неша.
Визначення.
Для гри
ситуація
називається рівновагою
за Нешем,
якщо:
,
,
.
Теорема
2.1
(Неш,1951р.).
Нехай множина стратегій
є опуклою та компактною підмножиною
деякого топологічного векторного
простору (узагалі кажучи, свого для
кожного і).
Нехай усі
– неперервні дійснозначні функції на
такі, що для кожного
функції однієї змінної
угнуті по
на
.
Тоді множина рівноваг Неша є непорожньою
та компактною множиною.
Визначення
Для
гри
ситуація
є сильною
рівновагою
Неша, якщо не існує коаліції гравців,
для яких було б вигідно відхилятись від
даної ситуації у випадку, коли доповнювальна
коаліція не реагує на відхилення:
,
несумісна система нерівностей:
19. Критерії вибору Нешівських рівноваг.
Визначення
Нехай r
та s
шукані рівноваги в грі G.
Ситуація r
домінує
за виграшем
s
, якщо
.
Таблиця 2.12.
Визначення
Ситуація а
домінує
за ризиком
b,
якщо
.
Визначення Ситуація рівноваги а ефективна за ризиком у грі G, якщо не існує інших ситуацій рівноваги, які домінують за ризиком а.
20. Змішане розширення гри. Змішані рівноваги Неша.
Визначення
Нехай
,
де
– скінченна множина при всіх
.
Змішаною
стратегією
гравця і
називається ймовірнісний розподіл
на
,
(
– ймовірність вибору і
– м
гравцем його "чистої" стратегії з
).
Отже,
множина
змішаних стратегій і
– го
гравця є одиничним симплексом у просторі
його стратегій
.
Змішаним
розширенням
гри G
називається гра
,
де:
;
.
(4.1)
Мається
на увазі, що "лотерея" і
– го
гравця не залежить від "лотереї"
j
– го
для всіх
,
тільки гравець і
знає стратегію
,
яка дійсно випала у лотереї. Оскільки
випадкові змінні незалежні у сукупності,
то
є очікуваним виграшем (математичним
сподіванням виграшу) гравця і.
Визначення
Чиста стратегія
гравця i
у початковій грі ототожнюється із
змішаною стратегією
,
у якій вибирається
з ймовірністю одиниця:
.
Теорема
4.3. Нехай
початкова гра
має скінченні множини стратегій. Нехай
рівновага Неша у змішаних стратегіях.
Тоді справедлива наступна система
рівностей:
,
,
. (4.4)
Доведення. Фіксуємо . Тоді за визначенням рівноваг Неша маємо:
для
.
(4.5)
Покладемо,
що хоча б одна з цих нерівностей строга:
.
Перемножуючи усі нерівності (4.5) на
і, враховуючи, що
,
маємо:
.
Отримане протиріччя доводить, що усі нерівності у (4.5) насправді перетворюються у рівності (4.4).¨
Згідно
теоремі, рівновага Неша у змішаних
стратегіях
має властивість: будь-яка змішана
стратегія
з тим же носієм, що і
,
є найкращою відповіддю гравця і
на
.