9. Парадокс Ерроу.

Єдиним колективним порядком, що задовольняє аксіомам А1–А4, є "диктаторський", тобто існує виборець такий, що колективний порядок співпадає з його індивідуальним порядком.

10. Функції вибору, нормальні функції вибору

Нехай задано скінченну множину альтернатив і ОПР, користуючись своїм особистим уявленням про кращі альтернативи, для кожної множини вибирає підмножину кращих C(X). Єдина вимога, яка накладається на вибір: – кращі альтернативи можна вибирати з того, що пропонують, зокрема, .

Будемо називати функцією вибору C [3], задану на , відображення, що зіставляє кожній підмножині її підмножину , тобто , для .

вибір найпростіше здійснювати, порівнюючи дві альтернативи, тобто на задавати деяке бінарне відношення R. Тоді розглядаючи звуження цього бінарного відношення на будь-яку підмножину можна задати дві функції: – множина мажорант на множині X; – множина максимумів на X. Функція вибору називається блокуванням, – перевагою.

З властивостей бінарних відношень безпосередньо випливає

Теорема 3.1. Функції вибору і зв'язані співвідношеннями , , де – двоїсте до R.

Таким чином, з двох функцій вибору, що породжуються заданим бінарним відношенням R, досить розглядати одну. Далі будемо зіставляти бінарному відношенню R функцію блокування і називати її "функцією вибору, породжену бінарним відношенням R". Такі функції називаються нормальними.

11. Критерій нормальності функцій вибору.

Теорема 3.2. Функція вибору C є нормальною тоді і лише тоді, коли для будь-якої множини і будь-якого покриваючого її сімейства виконується:

. (3.2)

Отже, якщо функція вибору нормальна, то всякий об’єкт із X, що не є кращим у X, не є кращим хоча б для однієї множини з покриваючого сімейства. Зокрема, якщо елемент не вибирається з деякої підмножини X, то він не повинен вибиратись з будь-якої множини, що її містить.

Доведення теореми. Необхідність. Нехай C – нормальна, тобто існує бінарне відношення R таке, що . Нехай , ( – квантор існування).

Нехай y належить деякій множині з покриваючого сімейства. Тоді:

.

Достатність. Нехай C – функція вибору, що задовольняє (3.2). Задамо відношення R формулою: . Покажемо, що . Нехай , , : . Тобто .

Покажемо, що , . Нехай

З отриманого протиріччя випливає: . Теорему доведено.

12. Класи функцій вибору, теорема Черноффа.

13. Логічна форма функцій вибору.

Логічною формою функції вибору C (ЛФФВ(С)) називається сімейство функцій від n-1 змінної, побудованих за формулою . Навпаки, якщо задане довільне сімейство бульових функцій від n-1 змінної, то співвідношення однозначно визначає функцію вибору C. Отже, задання функції вибору є еквівалентним заданню ЛФФВ(C).

Розглянемо приклад на побудову ЛФФВ(С).

Нехай і задано функцію вибору C наступним чином: , , де , (див. табл. 3.2). Побудуємо таблиці 3.3-3.5, що задають бульові функції , .

Табл.3.2.

X	C(X)
		(1,0,0) (0,1,0) (0,0,1)	(1,0,0) (0,1,0) (0,0,1)
, , ,		(1,1,0) (1,0,1) (0,1,1)	(1,0,0) (1,0,0) (0,1,0)
, ,		(1,1,1)	(1,0,0)

Табл.3.3					Табл.3.4						Табл.3.5
0 0 1 1	0 1 0 1	1 1 1 1		0 0 1 1		0 1 0 1	1 1 0 0			0 0 1 1		0 1 0 1	1 0 0 0

За таблицями 3.3–3.5 побудуємо розклад функцій у досконалу диз'юнктивну нормальнy форму: , , .