5. Прийняття рішень в умовах невизначеності.

Потреба в принятті рішень в умовах невизначеності виникає коли альтернатива може привести до множини наслідків.

X – множина альтернатив

Y – множина наслідків

S – множина станів

Формулы есть на листочке, потому что у меня не стоит редактор формул на компе.

6. Прийняття рішень в умовах ризику.

Потреба в принятті рішень в умовах ризику виникає коли стани появляються з деякою ймовірністю.

X – множина альтернатив

Y – множина наслідків

S – множина станів

p(s) - ймовірність появи стану s

Формулы выписаны на листочке, потому что у меня не стоит редактор формул на компе.

7. Вибір голосуванням, функція колективної переваги, методи голосування.

Нехай – множина "виборців", – множина "кандидатів". Кожен виборець задає "індивідуальну перевагу" на множині кандидатів у вигляді строгого ранжування, тобто задає лінійний порядок (повне, транзитивне, асиметричне бінарне відношення).

• Правило відносної більшості. Перемагає кандидат, за якого голосовала більшість виборців

• Правило абсолютної більшості. Перемагає кандидат, за якого проголосовало більш ніж 50% кандидатів.

• Правило відносної більшості з вибуванням. У другий тур проходять два кандидата, що набрали відносну більшість голосів у першому турі. У другому турі перемагає той, хто отримав абсолютну більшість голосів.

• Правило Борда. Для кожного місця визначається кількість очок, яки отримує за нього кандидат. Перемагає кандидат с найбільшою їх кількістю.

• Правило Кондорсе. Переможцем оголошується той кандидат, що перемагає всіх інших у попарних порівняннях.

• Правило Копленда. K(a,x) - число виборців, для яких кандидат а кращий за х. Якщо за a голосовало більше виборців, ніж за x, то K(a,x) = +1; інакше K(a, x) = -1; 0 при рівності. Оцінка Копленда кандидата a є . Переможцем Копленда (переможцем за Коплендом) називається кандидат (кандидати) з найвищою оцінкою Копленда.

• Правило Сімпсона. S(a,x) – також число виборців, для яких а краще за х. Оцінкою Сімпсона кандидата a називається число . Переможцем Сімпсона називається кандидат (кандидати) з найвищою оцінкою Сімпсона.

• Послідовне виключення. Послідовно попарно порівнюються кандидати за правилом більшості. Спочатку перший із вторим, потім переможець із наступим, і так далі.

• Паралельне виключення. Кандидати діляться по парам і порівнюються за правилом більшості. Потім теж саме робиться для переможців, поки не залишиться єдиний переможець.

8. Властивості методів голосування, парадокси голосування.

• Аксіома А1 (повнота). :

• Аксіома А2 (транзитивність): .

• Аксіома А3 (одностайність): якщо для всіх виборців , то й у колективному порядку також ( : ).

• Аксіома А4 (незалежність). Розташування будь-яких двох кандидатів a і b у колективному порядку залежить лише від їх взаємного розташування в індивідуальних порядках і не залежить від розташування інших кандидатів.

• Парадокс Ерроу. Якщо голосування задовольняє аксіоми А1-А4, то існує виборець такий, що колективний порядок співпадає х його індивідуальним порядном.

• Аксіома А5 (анонімність). Імена виборців не мають значення: якщо два виборці поміняються голосами, то результат не зміниться.

• Аксіома А6 (нейтральність). Імена кандидатів не мають значення: якщо поміняти місцями кандидатів a і b у перевазі кожного виборця, то результат голосування зміниться відповідно (якщо раніше вибирався кандидат a, то тепер буде вибиратись кандидат b і навпаки; якщо раніше вибирався деякий кандидат c, відмінний від a і b, то тепер він же і буде вибраний).

• Аксіома A3' (ефективність). Якщо кандидат a для всіх виборців кращий за кандидата b, то b не може бути вибраним.

• Аксіома А7 (монотонність). Нехай a вибирається при даному профілі й профіль змінюється так, що положення a покращується, а відносне порівняння пари будь-яких кандидатів для будь-якого виборця залишається незмінним. Тоді a для нового профілю також буде вибраним.

• Аксіома А8 (поповнення (однозначні правила голосування)). Дві групи виборців і , що не перетинаються, вибирають одного і того ж кандидата a з множини A. Тоді виборці з множини також вибирають a.

• За цією властивістю виборці розбиваються на "територіальні" дільниці або законопроект розглядається у підкомісіях.

• Аксіома А'8 (поповнення (відображення голосування)). Нехай виборці з вибирають кандидатів з A, з – з , , . Тоді виборці з виберуть кандидатів з .

• Аксіома А9 (участь). Нехай кандидат вибирається виборцями з N. Нехай до множини виборців добавляється новий виборець i ( ). Тоді виборці з повинні вибрати або a, або кандидата, який для агента i є строго кращим a.

• Аксіома 10 (неперервність). Нехай виборці з вибирають , з – , , . Тоді існує (досить велике) натуральне число m таке, що вибере a.