Лекция 2 свойства полупроводников

2.1 Концентрация носителей

Разрешенные зоны содержат огромное количество уровней (10²² - 10²³)см^-3 на каждом из которых могут находится электроны. Фактическое количество электронов в разрешенной зоне зависит от концентрации доноров и от температуры. Чтобы оценить фактическую концентрацию носителей в полупроводнике, нужно знать распределение уровней и вероятность заполнения этих уровней.

Для полупроводников с небольшой концентрацией носителей (классических полупроводников) вероятность F_n заполнения уровня с энергией Е в зоне проводимости дается распределением Максвелла-Больцмана:

, (2.1)

где E_F - энергия Ферми³ (или электрохимический потенциал), который можно характеризовать как энергетический уровень, вероятность заполнения которого равна 1/2. (Можно считать, что все уровни в запрещенной зоне, которые находятся ниже уровня Ферми заполнены электронами, а те, которые выше - свободны от электронов).

Если обозначить через N(E) плотность уровней в зоне проводимости вблизи уровня Е, то N(E)Е представляет количество уровней в диапазоне E. Умножив это количество на вероятность заполнения уровня F_n, получим концентрацию свободных электронов в диапазоне E. Полную концентрацию свободных электронов n получим путём суммирования (интегрирования) по всей ширине зоны проводимости⁴: ( , где Е_с и Е_top – энергии дна и потолка зоны проводимости, N(E) – плотность состояний на единичный интервал энергии). После выполнения этой процедуры получим:

, (2.2а)

где N_c - эффективная плотность состояний в зоне проводимости.

Аналогичным образом получается выражение для концентрации дырок:

. (2.2б)

где N_V - эффективная плотность состояний в валентной зоне

Рисунок 2. - Зонная структура п/п р-тпа

Перемножая левые и правые части в формулах (2.2) получим:

(2.3)

Видно, что при неизменной температуре произведение концентраций есть величина постоянная, т.е. увеличение одной из концентраций сопровождается уменьшением другой.

В собственном п/п концентрации электронов и дырок одинаковы. Они обозначаются через n_i и называются собственными концентрациями. Поставляя n=n_i и p=n_i в (3) получим выражение для собственной концентрации.

(2.4)

Видно, что собственная концентрация экспоненциально зависит от температуры и ширины запрещённой зоны.

Из (3) и (4) следует: (2.5)

Рассмотрим подробнее уровень Ферми. Для этого определим соотношение концентраций, используя выражение (2.2), полагая для простоты N_c=N_v:

, (2.6)

Подставим в левую часть (2.6) значение p=n_i²/n из (2.5) и прологарифмируем обе части, тогда уровень Ферми запишется через концентрацию свободных электронов:

(2.7а)

если подставить в (6) значение n=n_i²/p, то уровень Ферми запишется через концентрацию дырок:

(2.7б)

Заметим, что величина представляет собой середину запрещённой зоны. Второй член в выражениях (2.7) представляет собой величину энергии от середины запрещённой зоны до положения уровня Ферми, причём последним и определяется концентрация свободных носителей в полупроводнике - n – из выражения (2.7а) и -р – из выражения (2.7б). Также можно записать , что

(2.7в)

Из выражений (2.7) можно сделать следующие выводы:

- в собственных полупроводниках, у которых n=p=n_i уровень Ферми расположен в середине запрещённой зоны;

-в электронных полупроводниках, у которых n > n_i уровень Ферми лежит в верхней половине запрещённой зоны и тем выше, чем больше концентрация электронов;

-в дырочных полупроводниках, у которых p > n_i уровень Ферми лежит в нижней половине запрещённой зоны и тем ниже, чем больше концентрация дырок;

-с ростом температуры, когда экспоненциально растёт величина n_i (см. (2.4)) и начинает сравниваться, а затем и превышать величину n и примесный полупроводник превращается в собственный, а уровень Ферми смещается к середине запрещённой зоны;

второй член в выражениях (2.7) характеризующий концентрацию носителей называют химическим потенциалом, Е_i - электрический потенциал, отсюда название - электрохимический потенциал.

Одно из фундаментальны положений в физике полупроводников формулируется следующим образом: уровень Ферми одинаков во всех частях равновесной системы, какой бы разнородной она не была.

Действительно, если бы мы взяли полупроводник с неоднородным распределением легирующей примеси, то в нём бы в начале существовали области с разной концентрацией носителей и, соответственно с градиентом уровня Ферми. Эти бы носители начинали бы перераспределение, вследствие градиента концентрации до установления равновесия (что мы и наблюдаем всегда в действительности), однако это приведёт к созданию электрических полей, вследствие появления нескомпенсированных примесных центров. В конце концов градиент химического потенциала будет компенсирован градиентом электрического потенциала и результирующий градиент уровня Ферми сделается равным нулю.