3.4. Исторические сведения
Как известно, греки знали
квадратные корни задолго до новой эры.
Способы извлечения корня степени
также известны давно. Например, хорезмский
математик Бируни (972 – 1048)
в своей книге «Ключи к арифметике»
описывает способ извлечения корня с
любым натуральным показателем. Впрочем,
способ этот громоздкий и неудобный.
Начиная с XIII в. итальянские и другие
европейские математики обозначали
корень латинским словом Radix
(корень) или сокращенно R.
Так, Н. Шюке в XV в. писал
вместо принятого теперь
.
Немецкие математики в рукописи
1480 г., написанной, как это было
тогда принято, на латинском языке,
обозначали корень квадратный знаком
(
),
корень четвертой степени знаком
(
),
корень кубический знаком
(
).
В 1626 г. нидерландский математик
А. Жирар ввел близкое к современному
обозначение для квадратных, кубических
и т. д. корней:
… .
Выдающемуся итальянскому математику Д. Кардано (1501 – 1576) принадлежат формулы решения кубических уравнений, в которых используются кубические корни.
Равенство
(для
)
применял в начале XV в. самаркандский
ученый ал-Каши. Независимо от него
нулевой показатель ввел и
Н. Шюке.
В XVI в. фламандский ученый С.
Стевин (1548 – 1620) предложил
понимать
как степень числа
с дробным показателем
,
т. е.
.
Систематически нулевые,
отрицательные и дробные показатели
стал применять И. Ньютон (1643 – 1727).
Рациональная степень числа
позволила определить показательную
функцию
,
существенный вклад в изучение
которой внес Л. Эйлер (1707
– 1783).
Дополнение 1. Метод математической индукции
Сформулируем принцип полной индукции.
Если свойство, зависящее от
натурального
,
во-первых, верно при
и, во-вторых, из предположения, что оно
верно при
,
следует, что оно верно при
,
то считают, что это свойство верно
для любого натурального
.
Продемонстрируем возможности применения
метода математической индукции в
процессе доказательства несколько
теорем.
Теорема 1д. Если
,
то для любого натурального
|
(1д) |
.Доказательство. Согласно принципу полной индукции, для того чтобы неравенство (1д) можно было считать верным для всех натуральных , достаточно проверить, что выполняются следующие два утверждения:
1) неравенство (1д) справедливо для ;
2) если допустить, что для
некоторого
неравенство (1д) справедливо,
то есть имеет место неравенство
,
то оно справедливо и для
,
то есть имеет место неравенство
.
Утверждение 1 действительно выполняется, потому что, положив в неравенстве (1д) , получим неравенство , верное по условию. Утверждение 2 тоже выполняется, ведь если предположить верным неравенство , то после умножения его на положительное число получим верное неравенство .
Таким образом, утверждения 1 и 2 выполняются. Но тогда согласно принципу полной индукции неравенство (1д) верно для любого натурального . Теорема 1д доказана.
Замечание. Доказательство, основанное на принципе индукции, называют доказательством по индукции или доказательством методом математической индукции.
Теорема 2д. Для любого натурального
|
(2д) |
.
Доказательство.
При
равенство (2д) очевидно. Если допустить,
что равенство
доказано, то отсюда будет следовать,
что
.
Тогда согласно принципу полной индукции равенство (2д) надо считать верным для любого натурального . Теорема 2д доказана.
Теорема 3д. Если
,
то для любого натурального
. |
(3д) |
Доказательство.
Это утверждение доказывают по индукции
следующим образом. При
неравенство (3д) верно, так
как по условию
.
Пусть при равенство (3д) верно, т. е.
|
(4д) |
.
Так как по условию
– положительное число, то
и
– положительное число, что
было доказано выше. Умножив неравенство
на
и неравенство (4д) на
,
получим
и
,
откуда следует, что
.
Тогда согласно принципу полной индукции
неравенство (3д) надо считать верным для
любого натурального
.
Теорема 3д доказана.
Замечание.
Теорема 3д остаётся верной и в случае,
если
,
так как в силу теорем 1д и 2д при
имеем:
,
а
,
то есть и в этом случае
.
Теорема 4д. Для любых действительных чисел и и для любого натурального числа справедливо равенство
|
(5д) |
.Доказательство. Это утверждение докажем по индукции.
При
равенство (5д) верно, поскольку
представляет собой известную
формулу сокращенного умножения:
.
Пусть при равенство (5д) верно, то есть
|
(6д) |
.Умножая левую и правую часть равенства (6д) на , получаем:
|
(7д) |
.
К левой части равенства (7д) прибавим
,
а к правой части прибавим
такое же слагаемое, представив его в
виде
.
В результате простых преобразований
окончательно получаем:
|
(8д) |
.Итак, доказаны 2 утверждения: 1) равенство (5д) справедливо при , 2) из справедливости равенства (5д) при следует, что оно верно и при . В силу принципа математической индукции отсюда следует, что равенство (5д) верно для любого натурального числа .
Теорема 4д доказана.
Теорема 5д. Если
,
то для любого нечётного
натурального
, |
(9д) |
а
для любого чётного натурального
. |
(10д) |
Это утверждение докажем
отталкиваясь от равенства (5д).
Во-первых, отметим, что по условию
,
поэтому
,
так что первый множитель в правой части
равенства (5д) является отрицательным.
Во-вторых, так как
,
то
.
Поэтому
Отсюда следует, что
и
значит, второй множитель в правой части
равенства (5д) имеет тот же знак,
что и
,
то есть он положителен при
нечётном
и отрицателен при чётном
.
Окончательно из равенства (5д) с учетом
неравенства
получаем, что при нечётном
и потому
,
а при чётном
и, следовательно,
.
Теорема 5д доказана.
1 Здесь использованы материалы из учебника: Алгебра, 9 / С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников, А. В. Шевкин. – М.: Просвещение, 2001. – 255 с.