Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Гомельский государственный университет им. Франциска Скорины

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

ИВЭМ Тема 3 Степень числа с рациональными показ...docx

Скачиваний:

Добавлен:

01.07.2025

Размер:

81.7 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 32 3 > Следующая >>>

3.3. Понятие степени с рациональным показателем

Ранее уже было введено и исследовано понятие степени с натуральным показателем, а затем и с целым показателем. Теперь определим степень с рациональным показателем, т. е. с показателем , где – целое число, а – натуральное число, .

Определение. Пусть – произвольное положительное действительное число, а – рациональное число, . По определению в степени равно арифметическому корню степени из в степени , то есть по определению

Например: , , , .

Теорема 9. Пусть – произвольное положительное действительное число, – целое число, и – натуральные числа, ; . Тогда справедливы равенства

	(11)
	(12)
	(13)

Доказательство. Используя определение степени с рациональным показателем, доказанные ранее свойства степени с целым показателем и свойства арифметического корня, получаем:

Здесь def – сокращение от definition (определение, дефиниция).

Равенство (11) доказано.

Докажем теперь равенство (12).

Равенство (12) доказано.

Докажем равенство (13).

Равенство (13) и теорема 9 доказаны.

Замечание 1. Если и – натуральные числа, а – целое число, то справедливо равенство . Поэтому если , то для любого натурального числа имеем также .

Равенство (12) показывает, что определение степени с рациональным показателем не зависит от формы записи числа , а зависит лишь от самого числа . При любой форме записи данного рационального числа определение приводит к одному и тому же числу. Если бы это было не так, то определение степени с рациональным показателем было бы противоречивым.

Замечание 2. Равенство (13) показывает, что определение степени с рациональным показателем содержит в себе определение степени с целым показателем.

3.3. Свойства степени с рациональным показателем

Теорема 10. Пусть и – произвольные положительные действительные числа, и – произвольные рациональные числа. Тогда справедливы свойства:

;	(14)
;	(15)
;	(16)
;	(17)
;	(18)
;	(19)
	(20)

Доказательство. Для доказательства свойства (14) запишем число в виде , где – натуральное число, , а а – целое число (положительное, отрицательное или нуль). Так как – положительное число, то, используя определение степени с рациональным показателем и свойства корня степени , получим, что

т. е. при неравенство (14) верно.

Используя свойства степени положительного числа с целым показателем, получаем, что при любом целом числе

Неравенство (14) доказано в общем случае.

Для доказательства равенства (15) представим числа и в виде и , где и – целые числа, а и – натуральные числа, ; . Используя определение степени с рациональным показателем, свойства арифметических корней и свойства степеней с целым показателем, получим:

Свойство (15) доказано.

Теперь на основании свойства (15) имеем

откуда и следует равенство (16).

Далее, в силу свойств (15) и (16)

и тем самым свойство (17) доказано.

Теперь докажем свойство (18). Пусть и – произвольные рациональные числа. Представим их в виде и , где и – целые числа, а и – натуральные числа, ; . Тогда, вновь используя определение степени с рациональным показателем, свойства арифметических корней и свойства степеней с целым показателем, получим:

Свойство (18) доказано.

Для доказательства свойства (19) представим рациональное число в виде , где – целое число, а – натуральное число, . Тогда, используя определение степени с рациональным показателем, свойства арифметических корней и свойства степеней с целым показателем, получим: