Тематические обзоры по курсу элементарной математики

Составитель В.Г.Ермаков

Тема 3. Степень числа с рациональными показателями 1

3.1. Корень -ой степени

Определение. Пусть есть натуральное число и . Корнем степени из числа называют такое число (если оно существует), -я степень которого равна .

Корень степени 2 называют также квадратным корнем. Корень степени 3 называют ещё кубическим корнем.

Пример 1. Равенства показывают, что числа есть кубические корни соответственно из чисел .

Пример 2. Равенства показывают, что числа есть корни степени 5 соответственно из чисел .

Эти примеры указывают на то, что корни 3-й и 5-й степеней из действительных чисел существуют.

Пример 3. Равенства показывают, что есть два числа и , которые являются корнями четвертой степени из ; есть два числа и , являющиеся корнями четвертой степени из 16; есть также два числа и , являющиеся корнями четвертой степени из 81. Далее, 0 есть корень четвертой степени из 0.

Этот пример указывает на то, что корень 4-й степени из неотрицательных чисел существует. Не существует корня четвертой степени из отрицательного числа, потому что четвертая степень любого действительного числа есть число неотрицательное.

Справедливы следующие теоремы.

Теорема 1. Существует, и притом, единственный, корень нечетной степени из любого действительного числа , при этом корень нечетной степени: а) из положительного числа есть число положительное; б) из отрицательного числа есть число отрицательное; в) из нуля есть нуль.

Теорема 2. Существуют два и только два корня четной степени из любого положительного числа, которые отличаются только знаками. Корень четной степени из 0 единственный, равный нулю. Корня четной степени из отрицательного числа не существует.

В школьном курсе математики эти теоремы доказывают при помощи графического метода, то есть путём анализа графика функции соответственно при нечётных и чётных значениях показателя . Строгое доказательство этих теорем опирается на теорию непрерывных функций, составляющую часть курса высшей математики, изучаемого в высших учебных заведениях.

3.2. Арифметический корень

Определение. Пусть есть натуральное число и . Неотрицательный корень степени из неотрицательного числа называют арифметическим корнем степени из числа .

Как уже было отмечено в предыдущем пункте, для нечетного существует только один корень из любого числа . При этом он неотрицательный, если неотрицательно. Поэтому понятие корня нечетной степени из неотрицательного числа и понятие арифметического корня той же степени из того же самого числа совпадают. В случае же четного существуют два корня степени из положительного числа. Один из них является положительным, то есть является арифметическим корнем степени из числа (его обозначают ), а другой равен ему по абсолютной величине, но противоположен по знаку (он равен ). Корень степени из нуля по определению есть арифметический корень степени из нуля: .

Следует подчеркнуть, что:

1) если – неотрицательное число, а – любое натуральное число , то запись означает арифметический корень степени из числа .

2) если – отрицательное число и – нечётное число, то запись означает корень степени из числа , но этот корень не является арифметическим корнем;

3) если – отрицательное число и – чётное число, то запись не имеет смысла.

Теорема 3. Для натурального числа и неотрицательного числа справедливы равенства:

,	(1)
	(2)

Доказательство. Так как – неотрицательное число, то по определению есть неотрицательное число, -я степень которого равна . Равенство (1) это и выражает.

Так как – неотрицательное число, то, как следует из теорем 2д и 3д Дополнения 1, . При этом по определению есть неотрицательное число, n-я степень которого есть . Таким числом, очевидно, является число , что и выражает равенство (2). Заметим, что другого неотрицательного числа, n-я степень которого равняется , нет.

Последнее утверждение докажем методом от противного. В самом деле, допустим, что существует положительное число , такое, что , но при этом . Тогда возможны 2 случая: либо , либо . В силу теоремы 3д Дополнения 1 в первом случае , а во втором случае , что противоречит равенству . Из полученного противоречия вытекает, что указанное число является единственным.

Теорема 3 доказана.

Соображения, использованные при доказательстве теоремы 3, позволяют сформулировать и доказать ещё одну важную вспомогательную теорему.

Теорема 4. Для любого натурального числа и любых неотрицательных действительных чисел и из равенства следует .

Доказательство. Применим метод доказательства от противного. Предположим, что числа и неотрицательны, , но . Тогда возможны 2 случая: либо , либо . В силу теоремы 3д Дополнения 1 и замечания к этой теореме в первом случае , а во втором случае , что противоречит равенству . Из полученного противоречия вытекает, что допущение о том, что , является ошибочным. Но тогда . Теорема 4 доказана.

Теорема 4'. Для любого нечётного натурального числа и любых действительных чисел и из равенства следует .

Доказательство. В случае, когда оба числа и неотрицательны, данное утверждение является частью теоремы 4. Для случая, когда оба эти числа отрицательны, доказательство теоремы 4 можно повторить почти дословно, но опорной теоремой должна послужить не теорема 3д из Дополнения 1, а близкая к ней теорема 5д. Наконец, в случае, когда числа и имеют разные знаки, легко заметить, что их n-е степени и тоже имеют разные знаки, следовательно, и в этом случае доказательство можно провести методом от противного.

Замечание. При доказательстве следующих теорем будут использованы свойства степени числа с целыми показателями, доказанные ранее.

Теорема (напоминание). Пусть и – произвольные действительные числа, отличные от нуля, а и – произвольные целые числа. Тогда

;	(1н)
;	(2н)
;	(3н)
;	(4н)
	(5н)

Теорема 5. Для любого натурального числа и любых неотрицательных действительных чисел , и справедливы равенства

;	(3)
	(4)

Доказательство. Возведём левую часть доказываемого равенства (3) в степень . По свойству (1), которое является прямым следствием определения корня -ой степени из неотрицательного действительного числа, имеем

Далее, возведём в степень правую часть доказываемого равенства (3). В силу свойств (1н) и (1) имеем

Правые части двух последних равенств равны, следовательно, равны и их левые части, то есть

Так как числа и неотрицательны, то, применяя теорему 4, получаем, что равенство (3) справедливо.

Аналогично доказывается и равенство (4). Теорема 5 доказана.

Теорема 6. Для любых натуральных чисел и и любого неотрицательного действительного числа справедливы равенства

;	(5)
;	(6)
.	(7)

Доказательство. По условию теоремы , поэтому числа, стоящие в левых и правых частях доказываемых равенств (5) – (7), определены и неотрицательны. Данное обстоятельство позволяет доказывать эти равенства с опорой на теорему 4.

Для доказательства равенства (5) возведём его левую и правую части в степень :

Из доказанного равенства в силу теоремы 4 вытекает справедливость равенства (5).

Для доказательства равенства (6) возведём его левую и правую части в степень :

Из доказанного равенства в силу теоремы 4 вытекает справедливость равенства (6).

Для доказательства равенства (7) возведём его левую и правую части в степень :

Из доказанного равенства в силу теоремы 4 вытекает справедливость равенства (7).

Теорема 6 доказана.

Замечание. Если и – нечётные числа, то равенства (5) – (7) справедливы для любых действительных чисел , необязательно неотрицательных. Доказательство этого утверждения можно получить дословным повторением доказательства теоремы 6, но главной опорой при этом должна быть не теорема 4, а теорема 4'.

Теорема 7. Для любого натурального числа и любого действительного числа справедливо равенство

(8)

Доказательство. Пусть есть произвольное действительное число. Тогда

Поэтому в силу равенства (2)

что и требовалось доказать.

Теорема 7 доказана.

Теорема 8. Пусть – положительное число, – целое число и – натуральное число, . Тогда справедливо равенство

(9)

Доказательство. Если – натуральное число, то в этом случае равенство (9) совпадает со свойством (5) и потому уже доказано.

Если , то

Следовательно, .

Если , то , где – натуральное число. Тогда, используя определение степени с отрицательным целым показателем и свойства арифметических корней степени , получаем:

Теорема 8 доказана.