1.Рассче реактивного сопротивления элементов цепи

X_L1 =ωL₁ = 2πfL₁ = 314 ^. 127,2^. 10^-3 = 40 Ом

X_L2= ωL₂ = 2πfL₂ = 314 ^. 63,8^. 10^-3 = 20 Ом

X_C1 = = = = 20 Ом

X_C2 = = = = 20 Ом

2.Схема замещения электрической цепи.

Рисунок 8. Схема замещения электрической цепи

3.Определение действующего значения токов во всех ветвях цепи.

Найдем комплексные сопротивления ветвей:

Z₁ = R₁ + jX_L2 = 20 + j20 = 28,3 e ^j45 Ом

Z₂ = R₂ – jX_C1 = 30 – j20 = 36,1e ^–j33,7 Ом

Z₃ = jX_L1 + jX_C2 = j40 – j20 = 20 e ^j90 Ом

Выразим действующее значение напряжения в комплексной форме:

Ù = е ^j0 = = 127,3 B

Токи в ветвях:

Ì₁ = = = 4,5 e ^–j45 = 3,2 – j3,2 А

Ì₂ = = = 3,5e ^j33,7 = 2,9 + j1,9 А

Ì₃ = = = 6,4e ^–j90 = – j6,4 А

Общий ток цепи:

Ì = Ì₁ + Ì₂+ Ì₃ = 3,2 – j3,2 + 2,9 + j1,9 – j6,4 = 6,1 – j7,7 = 9,8 e ^–j51,6 А

4. Уравнение мгновенного значения тока источника.

i = I_m sin (ωt+φ_i)

i = 9,8 sin (ωt – 51,6⁰) = 9,8^.1,414 sin (314t – 51,6⁰) =

= 13,9 sin (314t – 51,6⁰) А

5. Баланс активных и реактивных мощностей.

Комплексная мощность цепи:

S̅ = Ù Ì = 127,3 9,8 e ^j51,6 = 1247,5 e ^j51,6 = 774,9 + j977,7 ВА

Где:

S_ист = 1247,5 ВА

Р_ист = 774,9 Вт

Q_ист = 977,7 вар (знак плюс определяет индуктивный характер нагрузки в целом)

Активная и реактивная мощности приемников:

Р_пр = Ì₁² R₁ + Ì₂²R₂ = 4,5 ² 20 + 3,5² 30 = 405 + 367,5 = 772,5 Вт

Q_пр = Ì₁² x_L2 + Ì₂² (–x_C1) + Ì₃² (x_L1) + Ì₃² (–x_C2) =

= 4,5 ² 20 + 3,5²(–20) + 6,4² 40 + 6,4² (–20) =

= 405 – 245 + 1638,4 – 819,2 = 979,2 вар

Баланс мощностей практически выполняется:

Р_ист  Р_пр  774,9  772,5 Вт

Q_ист  Q_пр  977,7 вар  979,2 вар

7. Векторная диаграмма токов, совмещенная с топографической векторной диаграммой напряжений.

Ì = 6,1 – j7,7 = 9,8 e ^–j51,6 А

Ì₁ = 4,5 e ^–j45 = 3,2 – j3,2 А

Ì₂ = 3,5e ^j33,7 = 2,9 + j1,9 А

Ì₃ = 6,4e ^–j90 = – j6,4 А

Ù = U̇_ca = 127,3 B

U̇_cd = Ì₁ (jx_L2) = 4,5 e ^–j45 20 e ^j90 = 90 e ^j45 = 63,6+ j63,6 B

U̇_da = Ì₁R₁ = 4,5 e ^–j45 20 = 90 e ^-j45 = 63,6 – j63,6 В

U̇_ce = Ì₂ (–jx_C1) = 3,5e ^j33,7 20 e ^-j90 = 70 e ^–j56.3= 38,9– j58,2 В

U̇_ea = Ì₂ R₂ = 3,5e ^j33,7 30 = 105 e ^j33,7= 87,4 + j 58,3 B

U̇_cb = Ì₃ (–jx_C2) = 6,4e ^–j90 20 e ^-j90 = 128 e ^–j180 = –128 B

U̇_ba = Ì₃ (jx_L1) = 6,4e ^–j90 40 e ^j90 = 256 e ^j0 = 256 B

Рисунок 9. Векторная диаграмма токов, совмещенная с топографической векторной диаграммой напряжений.

2.2 Расчета трехфазной цепи переменного тока

Вариант 25.

Таблица 3 Электрические данные схемы

Uф В	RВС Ом	RСА Ом	RCС Ом	XLАВ Ом	XСАВ Ом	XСВC Ом	Вид соединения
220	6	10	-	18	8	15	Δ

В соответствии с данными таблицы 3 начертим схему соединения сопротивлений в трехфазной цепи. Определим: фазные токи; активную, реактивную и полную мощности. Расчеты проведем символическим методом.

Рисунок 10. Схема соединения сопротивлений

1. Модули фазных напряжений при соединении нагрузки треугольником равны линейным напряжениям:

U_Л = U_Ф = 220 В, то есть U_АВ = U_ВС = U_СА = 220 В.

Комплексы данных напряжений запишем из условия, что вектор U̇_АB совмещен с действительной осью комплексной плоскости,

U̇_АB = U_Л e ^j0 = 220e ^j0 = 220 В

U̇_ВС = U_Л e ^–j120 = 220e ^–j120 = – 110 – j190 В

U̇_СА = U_Л e ^j120 = 220e ^j120 = – 110 + j190 В

Выразим сопротивления фаз в комплексной форме:

Z_AB = jX_LАВ – jX_CАВ = j18 – j8 = j10 = 10e ^j90 Ом

Z_BC = R_BС – jX_CBС = 6 – j15 = 16,2e ^–j68,2 Ом

Z_CA = R_СА = 10 Ом

Определим фазные токи:

Ì_АB = = = 22e ^-j90 = – j22 A

Ì_ВC = = = 13.6e ^–j51,8 = 8,4 – j10,7 A

Ì_СA = = = 22 ^j120 = – 11 + j19,1 A

Находим линейные токи из уравнений, записанных по первому закону Кирхгофа для узлов А, В и С (рис. 10)

Ì_А = Ì_АB – Ì_СA = – j22 – (– 11 + j19,1) = 11 – j41,1 = 42,5e ^–j75 A

Ì_B = Ì_BC – Ì_AB = 8,4 – j10,7– (– j22) = 8,4 + j11,3 = 14,1e ^53,4 A

Ì_C = Ì_СА – Ì_ВС = – 11 + j19,1– (8,4 – j10,7) = – 19,4 + j29,8 = 35,6e ^j123 A

Вычисляем мощность фаз и всей цепи:

S̅_АB = U̇_АB Ḯ_АB = 220 22e ^j90 = 4840e ^j90 = j4840 BA

Где: S_AB = 4840 BA; P_AB = 0 Вт; Q_AB = 4840 вар.

S̅_ВC = U̇_ВC Ḯ_ВC = 220e ^–j120 13,6e ^j51,8 = 2992e ^–j68,2 = 1111,1– j2778 BA

Где: S_ВC = 2992 BA; P_ВC = 1111,1 Вт; Q_ВC = – 2778 вар.

S̅_СA = U̇_СA Ḯ_СA = 220e ^j120 22 ^-j120= 4840 e ^j0 = 4840 BA

Где: S_СА = 4840 BA; P_СА = 4840 Вт; Q_СА = 0 вар.

S̅ = S̅_АB + S̅_ВC + S̅_СA = j4840 + 1111,1– j2778 + 4840 = 5951,1 + j2062 =

= 6298,2e ^j19,1 ВА

Где: S = 6298,2 BA; P = 5951,1 Вт; Q = 2062 вар.

Векторная диаграмма напряжений и токов приведена на рисунке 11.

Рисунок 11. Векторная диаграмма.