Запись системы в симметрической форме. Нахождение интегрируемых комбинаций.

Нахождение интегрируемых комбинаций

Этот метод интегрирования системы дифференциальных уравнений: (1)

состоит в следующем: с помощью проходящих арифметических операций (сложения, вычитания, умножения, деления) из уравнений системы (I) образуют так называемые интегрируемые комбинации, т.е. достаточно просто решаемые уравнения вида где — некоторая функция от искомой функции . Каждая интегрируемая комбинация дает один первый интеграл. Если найдено независимых первых интегралов системы (1), то ее интегрирование закончено; если же найдено независимых первых интегралов, где , то система (1) сводится к системе с меньшим числом неизвестных функций.

Симметрическая форма системы дифференциальных уравнений. Для нахождения интегрируемых комбинаций при решении системы дифференциальных уравнений (1) иногда бывает удобно записать ее в симметричной форме

(18)

В системе дифференциальных уравнений, записанной в симметрической форме, переменные равноправны, что в некоторых случаях упрощает нахождение интегрируемых комбинаций. Для решения системы (18) либо берут пары отношений, допускающие разделение переменных, либо же используют производные пропорции

(19)

где коэффициенты производные и их выбирают так, чтобы числитель был дифференциалом знаменателя, либо равен нулю.

Линейные неоднородные уравнения. Отыскание частного решения в случае уравнения с квазиполиномом.

Структура общего решения ЛНДУ 2-го порядка :

y’’ + (x) y’ + (x) y = f (x) (5.1) - ЛНДУ

(x) , (x) С (a, b) - непрерывная функция

y’’ + (x) y’ + (x) y = 0 (5.2) - соответствующее однородное уравнение

Теорема (5.1) структура общего решения ЛНДУ

Общее решение yв уравнение (5.1) является сумма его произвольного частного решения и общего решения

=

y = (5.3)

Доказательство:

y = +

y’ = ( ) ‘ + ’

y’’ = ( ) ‘’ + ’’

y’’ = ( ) ‘’ + ’’ + (x) ( )’ ’ + (x) ( + ) = f (x)’

( ) ‘’ + (x) ( )’ + (x) ( ) + + (x) + (x) ) + ( ’’ + (x) ’ + (x) =f(x,y)

y= + (5.4)

Для этого нужно доказать , что из решения (5.4) можно выделить единственную частное решениеудовлетворяющее начальным условиям

Дифференцируем (5.4) и подставляем условия (5.5)

y ( ) = y ‘( ) = (5.5)

= W 0

! ,

Квазиполином Эйлера

В этих случаях записываем ожидаемую форму решения с неопределенными коэффициентами и подставляем в уравнение (5.1) y’’ + (x) y’ + (x) y = f (x)

Из получения тождестванаходим значения коэффициентов

Случай 1 : правая часть (5.7) y’’ + p y’ + q y = f(x) имеет вид :

f(x) = α R

y’’ + p y’ + q y = (5.8)

В этом случае :

= Qn (x) (5.9)

Где n – число = кратности α как корня характеристического уравнения

При этом Qn (x) = x ‘’ + + …. + A ‘’ Ai (i= 0, 1, 2,…)

А) Пусть α – не является корнем характеристического уравнения :

+ p k + q = 0

α r = 0

= Q u (x) *

Б) Пусть α является 2-ух однократным корнем характеристического уравнения :

α = + p k + q = 0

r = 1

= * Q n (x) *

В) Пусть α является 2-ух кратным корнем характеристического уравнения :

α = + p k + q = 0

r = 2

= * Q n (x) *

Случай 2 :

Правая часть (2.7) или вид : f(x) = ( ) cosβx + Q m (x) sin β (x )

Где )и Qm (x) многочлен степени nиm соответствуют α и β действительного числа

Уравнение (5.7) y’’ + p y’ + q y = f(x) тогда запишется в виде

y’’ + py’ + qy = ( ) cosβx + Qm (x) sinxβ ) (5.10)

= * * (Me (x) * cosβx + Ne (x) * sin βx ) (5.11)

r-число равное кратности (α + βi) как корня уравнения :

+ pk + q = 0

Многочлены степени е с неопределенным коэффициентом

Me (x)Ne (x)

е - max (n, m)

Замечание 1 :После подстановки функции из (5.11) в (5.10) приравниваем многочлен перед одноименной тригонометрической функциейв левой и правой частях уравнения

Замечание 2 : Формула (5.11) сохраняется и при ) 0 или + Qm (x) 0

Замечание 3 : Если правая часть уравнения (5.7) y’’ + p y’ + q y = f(x) есть сумма вида 1 или 2 то для нахождения используется теорема (5.2) : о наложение решения

Если правая часть уравнения (5.1) представляет собой сумму 2-ух функций:

f(x) = (x) + (x) ,

а u - частное решение уравнения

+ (x) y ‘ + (x) y = (x)

+ (x) y ‘ + (x) y = (x)

То функция

Является решение данного уравнения

( ) ‘’ + ) ‘ + ) ‘= ‘’ + + + ( ) ‘’ + ) ‘ + = (x) + (x) = f(x)