Уравнение в полных дифференциалах.
Дифференциальное
уравнение вида
,
называется уравнением
в полных дифференциалах,
если существует такая функция двух
переменных u(x,y) с
непрерывными частными производными,
что справедливо выражение :
Общее
решение уравнения в полных дифференциалах
определяется формулой
где C −
произвольная постоянная.
Необходимое и достаточное условие
Пусть
функции P(x,y) и Q(x,y) имеют
непрерывные частные производные в
некоторой области D.
Дифференциальное уравнение P(x,y)dx
+ Q(x,y)dy =
0 будет
являться уравнением в полных дифференциалах
тогда и только тогда, если справедливо
равенство:
Алгоритм решения уравнения в полных дифференциалах:
Сначала убедимся, что дифференциальное уравнение является уравнением в полных дифференциалах, используя необходимое и достаточное условие:
Затем запишем систему двух дифференциальных уравнений, которые определяют функцию u(x,y):
Интегрируем первое уравнение по переменной x. Вместо постоянной C запишем неизвестную функцию, зависящую от y:
Дифференцируя по переменной y, подставим функцию u(x,y) во второе уравнение:
Получим:
Интегрируя последнее выражение, находим функцию φ(y) и функцию u(x,y):
Общее решение уравнения в полных дифференциалах записывается в виде:
Линейные обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка. Метод Лагранжа.
ЛОДУ п-го порядка – уравнение линейное относительно неизвестной функции и её производных и значит имеющие вид:
+ a1
(x)
+ … + 
(x)
* 
+ 
(x)
y=
(x)
(3.1)
Если
(x)≡0
, то уравнение называется линейным
однородным, так как оно однородно
относительно некоторой неизвестной у
и её производных. Если коэффициент
ни
в одной точке некоторого отрезка
a
,
то разделив на 
приведем уравнение к виду :
+ Р1
(x)
+ … + 
(x)
y’
+ 
(x)
y
= 0 (3.2)
или
=-
Метод Лагранжа
Вариации произвольных постоянных
Для
нахождения общего решения (y’’
+ p1
(x)
y’
+p2(x)
y
= f
(x)
(5.1) ) необходимо найти частное
решение 
.
Его можно найти из общего решения уравнения (5.2) некоторых вариаций произвольных постоянных
= 
+ 
(5.6)
= 
+
+ 
+
=
+
+ 
+ 
Подставим в (5.1)
+
+
+
+ p1(x)
+ 
+ p2(x)
+
=f
(x)
+
+ 
+
+ 
(x)
+
(x)
+
= f (x)
= W
(x)
0
= 
(x)
= 
(x)
Интегрированием
найдем 
и 
Затем по формуле (5.6) составим общее решение
Теорема (5.2) : о наложение решения
Если правая часть уравнения (5.1) представляет собой сумму 2-ух функций:
f(x) = f1 (x) + f2(x) ,
а
и 
-
частное решение уравнения
+ 
(x) y ‘ + 
(x) y = 
(x)
+
(x) y ‘ +
(x) y = 
(x)
То
функция 
Является решение данного уравнения
(
) ‘’ + 
)
‘ +
)
‘=
‘’ + 
+ 
+ (
)
‘’ + 
)
‘ +
= f1
(x)
+ f2(x)
= f(x)