- •Виды дифференциальных уравнений. Интеграл дифференциального уравнения. Общий интеграл. Интегральная кривая.
- •Задача Коши. Существование и единственность решений уравнений n-го порядка и систем уравнений.
- •Уравнения вида , .
- •Уравнение в полных дифференциалах.
- •Линейные обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка. Метод Лагранжа.
- •Линейные дифференциальные уравнения n‑го порядка. Вронскиан. Фундаментальная система решений.
- •Уравнение, допускающее интегрирующий множитель.
- •Однородное дифференциальное уравнение первого порядка.
- •Уравнение Риккати
- •Уравнение Лагранжа.
- •Уравнение Клеро.
- •Уравнение Бернулли.
- •Задача Коши для дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка.
- •Сведение систем дифференциальных уравнений к одному уравнению более высокого порядка.
- •Однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение.
- •1 Случай :
- •2 Случай :
- •3 Случай:
- •Запись системы в симметрической форме. Нахождение интегрируемых комбинаций.
- •Линейные неоднородные уравнения. Отыскание частного решения в случае уравнения с квазиполиномом.
- •Типы точек покоя. Фокус, центр.
- •Линейные неоднородные уравнения. Отыскание частного решения методом вариации произвольных постоянных.
- •Системы дифференциальных уравнений. Запись задачи в матричной форме.
- •Решение систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
- •Случай :
- •Случай :
- •Интегрирование линейных уравнений при помощи степенных рядов
- •Устойчивость решений дифференциальных уравнений. Асимптотическая устойчивость.
- •Типы точек покоя. Узел, седло.
- •Линейные и Квазилинейные уравнения частных производных
- •Уравнения с разделяющимися переменными.
- •Система дифференциальных уравнений с частными производными 1-го порядка
- •Простейшие оду первого порядка, разрешенные относительно производной.
Простейшие оду первого порядка, разрешенные относительно производной.
Самым простейшим дифференциальным уравнением 1-го порядка является уравнение вида: y′(x)=f(x), (1), где f(x) - заданная непрерывная на промежутке <a,b> функция. Задача нахождения решения дифференциального уравнения (1) в данном случае есть известная задача математического анализа об отыскании неизвестной функции по ее производной. Данная задача решается с помощью понятия первообразной (т.е. неопределенного интеграла)
y(x)=∫f(x)dx.
Поскольку все первообразные одной и той же функции отличаются одна от другой лишь на постоянную, то все решения уравнения (1) задаются формулой: y(x)=∫f(x)dx+C (2)
Придадим формуле (2) иной вид. Пусть x0 - фиксированная точка промежутка <a,b>, тогда неопределенный интеграл можно представить в виде ∫f(x)dx=∫xx0f(t)dt+C1 (3)
Подставляя (3) в (2), получим y(x)=∫xx0f(t)dt+C+C1=∫xx0f(t)dt+C2 (4)
Формулы (2) или (4) содержит все первообразные для f(x), поэтому они содержат все решения дифференциального уравнения (1) . Таким образом, общее решение уравнения (1) определяется по формуле (2) или (4).