Виды дифференциальных уравнений. Интеграл дифференциального уравнения. Общий интеграл. Интегральная кривая.

Виды д\у:

- Уравнения с разделяющимися переменными:

- Однородные уравнения:

- Линейные дифференциальные уравнения:  

- Уравнения Бернулли:

- Уравнения Риккати:

- Уравнения Якоби:

- Уравнения в полных дифференциалах :

- Уравнения Клеро:

- Уравнения Лагранжа:

- Уравнения, приводящиеся к уравнению Бернулли: ,

Решением (интегралом) д\у порядка n называется функция y(x), имеющая на

некотором интервале (a, b) производные    до порядка n включительно и удовлетворяющая этому уравнению.

Общий интеграл дифференциального уравнения — это общее решение, которое имеет неявный вид Ф(x,y,C₁,C_2,C₃,...C_n) = 0.

Интегральной кривой называется график решения геометрически неопределённого интеграла (первообразной), представляющего собой семейство «параллельных» кривых  , где каждому числу С соответствует определенная кривая семейства. График каждой кривой и называется интегральной кривой.

Задача Коши. Существование и единственность решений уравнений n-го порядка и систем уравнений.

Задача Коши, x₀, y₀ - начальные данные:

Решением задачи Коши является функция, определённая на интервале <a,b>, включающем x₀, являющаяся решением уравнения (1) и удовлетворяющая начальному условию (2).

Определение. Решением интегрального уравнения:

,является функция  , которая определена на <a,b> принадлежит x₀ и

1.  (непрерывна)

2.  <a,b>

3. подстановка   превращает уравнение (3) в тождество.

Лемма. Функция   является решением задачи Коши тогда и только тогда, когда она является решением интегрального уравнения.

Теорема: Существует единственное решения ДУ n-го порядка

yⁿ= f (x, y, y’, y’’ , … ^y(n-1₎₎удовлетворяющее условию: y (_x0) = _y0, y’ (_x0) = _y0`, _y``( _x0)= y₀ ‘’ , … , ^y(n-1) (_x0) = _y^0(n-1)

Если в окрестности нач. знач. ( , , _y``0, … , _y^0(n-1))

Функция f является непрерывной функцией всех своих аргументов и удовлетворяет условию Липшица по всем аргументам начиная со второго .

Теорема: Существование и единственности решения системы :

(3.9)

Предположим , что в области D , определённой неравенствами:

_x0 – a <= x _<= _x0 + a i = (1, 2, … , )

–

правые части уравнения (3.9) удовлетворяют условиям :

1. Все ф-ции (x, )- непрерывны, сл-но и ограничены. i= (1, 2, … , n) │_fi│ M

2. Все ф-ции (x, ) удовлетворяет условию Липшица

Уравнения вида , .

Некоторое уравнение путем подходящей замены переменных, можно привести к уравнению с разделенными переменными.

, где а и b –постоянные числа , которые заменой z = ax + by приводят к уравнению с разделенными переменными.

; f (z) ; = dx; x = + C Напомним, что функция Ф(x , y) называется однородной степени k, если выполняется следующее неравенство Ф (tx , ty ) = Ф (x , y)

Правая часть однородного уравнения является однородной функцией х и у нулевой степени однородности, поэтому уравнение вида M (x, y) dx + N (x ,y) dy = 0 будет однородным, если M(x , y) и N (x , y) является однородными функциями x , y одинаковой степени однородности, то есть в этом случае .

Уравнение вида преобразуется в однородное уравнение путем переноса из начала координат в точку пересечения с координатами (_x1,y1) прямых

Действительно в новых координатах

x = x – x₁

y = y – y₁

Свободный член в уравнениях этих прямых будет равен 0, коэффициенты при текущих координатах остаются неизменными, а производная

и уравнение преобразуется к виду ) или ) = ( , является однородным уравнением.

Этот метод не применим, только если прямые _a1x + b₁y + _c1 = 0 _a2x + _b2y + _c2 = 0 параллельны, но в этом случае _a1= к_{a2 b2}= k_b1 и уравнение может быть записано в виде f ( которое, как и ранее с заменой , z= , преобразованное уравнение с разделёнными переменными .