Решение

Проверяемая гипотеза Но: х0 = у0, т.е. средние выработки рабочих одинаковы по новой и старой технологиям. В качестве конкурирующей гипотезы можно взять Н1- Хо>Уо или Р2: хо≠уо (в данной задаче более естественна гипотеза Н1, так как ее справедливость означает эффективность применения новой технологии).

фактическое значение статистики критерия t =85-78/ = 4.00

При конкурирующей гипотезе Н1 критическое значение статистики находится из условия т. е. Ф(Tкр) = 1 – 2 * 0.05 = 0.9, откуда по табл. II приложений Tkр = T0,9 = 1>64, а при конкурирующей гипотезе H2 — из условия, т.е. Ф(Tkp)= 1-0,05 = 0,95, откуда

по таблице Tkр=Tо,95==1,96. Так как фактически наблюдаемое значение t = 4,00 больше

критического значения Tkp (при любой из взятых конкурирующих гипотез), то гипотеза Щ отвергается, т.е. на 5%-ном уровне значимости можно сделать вывод, что новая технология позволяет повысить среднюю выработку рабочих.

Будем теперь предполагать, что распределение признака случайной величины) X и Y в каждой совокупности имеет нормальный закон. В этом случае, если дисперсии а2 и а2 известны, то проверка гипотезы проводится так же, как описано выше, не только для больших, но и для малых по объему выборок. Если же дисперсии а2 и а2 неизвестны, но равны, т.е. , то в качестве неизвестной величины а2 можно взять ее оценку — «исправленную» выборочную дисперсию Однако «лучшей» оценкой для а2 будет дисперсия «смешанной» совокупности объема n1+n2, т.е.

а оценкой дисперсии разности независимых выборочных

средних - . имеет t-распределение Стьюдента с кг=п\+П2—2 степенями свободы. Поэтому критическое значение статистики t находится по тем же формулам в зависимости от типа критической области, в которых вместо функции Лапласа ф(t) берется функция Q(t,k) для распределения Стьюдента при числе степеней свободы k=n1+n2-2, т.е. Q(t,k) = 1-2а или Q(t,k) = 1-a. При этом сохраняется то же правило опровержения (принятия) гипотезы: гипотеза H отвергается на уровне значимости а, если |t| > (в случае односторонней критической области), либо если |t| > (в случае двусторонней критической области); в противном случае гипотеза Ho не отвергается (принимается).

Ответ:

Новая технология дает значимое уменьшение среднего

расхода сырья, так как t = 3,38< = 1,72 (односторонний критерий).

Задача 10.17

В рекламе утверждается, что месячный доход по акциям А превышает доход по акциям В более чем на 0,3% (или на 0,003). В течение годичного периода средний месячный доход по акциям В составил 0,5%, а по акциям А — 0,65%, а его средние квадратические отклонения соответственно 1,9 и 2,0%. Полагая распределения доходности по каждой акции нормальными, на уровне значимости 0,05

Решение

Проверяемая гипотеза Но: х0 = у0, т.е. средние выработки рабочих одинаковы по новой и старой технологиям. В качестве конкурирующей гипотезы можно взять Н1- Хо>Уо или Р2: хо≠уо (в данной задаче более естественна гипотеза Н1, так как ее справедливость означает эффективность применения новой технологии).

фактическое значение статистики критерия t =85-78/ = 4.00

При конкурирующей гипотезе Н1 критическое значение статистики находится из условия т. е. Ф(Tкр) = 1 – 2 * 0.05 = 0.9, откуда по табл. II приложений Tkр = T0,9 = 1>64, а при конкурирующей гипотезе H2 — из условия, т.е. Ф(Tkp)= 1-0,05 = 0,95, откуда

по таблице Tkр=Tо,95==1,96. Так как фактически наблюдаемое значение t = 4,00 больше

Будем теперь предполагать, что распределение признака случайной величины) X и Y в, не только для больших, но и для малых по объему выборок. Если же дисперсии а2 и а2 неизвестны, но равны, т.е. , то в качестве неизвестной величины а2 можно взять ее оценку — «исправленную» выборочную дисперсию Однако «лучшей» оценкой для а2 будет дисперсия «смешанной» совокупности объема n1+n2, т.е.

а оценкой дисперсии разности независимых выборочных

средних - . имеет t-распределение Стьюдента с кг=п\+П2—2 степенями свободы. Поэтому критическое значение статистики t находится по тем же формулам в зависимости от типа критической области, в которых вместо функции Лапласа ф(t) берется функция Q(t,k) для распределения Стьюдента при числе степеней свободы k=n1+n2-2, т.е. Q(t,k) = 1-2а или Q(t,k) = 1-a. При этом сохраняется то же правило опровержения (принятия) гипотезы: гипотеза Щ отвергается на уровне значимости а, если |t| > (в случае односторонней критической области), либо если |t| > (в случае двусторонней критической области); в противном случае гипотеза Ho не отвергается (принимается).

Ответ:

Утверждение в рекламе противоречит имеющимся данным, так как t = 0,18< = 1,72 (односторонний критерий).