Сделаем подстановки и , тогда

Возводя в квадрат правую и левую части и освобождаясь от знаменателя, после алгебраических преобразований получим

(U + С)² + V² = R², (8.83)

(8.84)

(8.85)

Это есть уравнение окружности с радиусом R и с центром, смещенным влево от начала координат на величину С.

Задаваясь различными значениями М от 1 до , можно построить ■семейство таких окружностей (рис. 8.26). На каждой окружности написано

значение ординаты амплитудной частотной характеристики. При М=1 окружность вырождается в прямую линию, параллельную оси ординат и проходящую слева от нее на расстоянии 0,5. При окружность вырождается в точку, совпадающую с точкой .

Для значений ординат ампли­тудной характеристики, лежащих в пределах , получает­ся семейство окружностей, распо­ложенных справа от линии М=1, симметрично с первым семейством. При М=0 окружность вырожда­ется в точку, совпадающую с началом координат.

Для построения амплитудной характеристики (рис. 8.25) доста­точно в тех же координатах, где построены окружности М=const, нанести амплитудно-фазовую характеристику разомкнутой системы. Точки пересече­ния этой характеристики с окружностями будут определять точки амплитуд­ной характеристики с соответствующими значениями ординат, равными М. Для определения показателя колебательности можно не строить амплитуд­ную характеристику, так как достаточно знать одно максимальное значение ординаты ,

определяемое по наименьшей окружности М=const, которой коснется амплитудно-фазовая характеристика.

Если при проектировании системы ставится условия, чтобы ее показа­тель колебательности был не больше некоторого заданного значения, напри­мер М_max=1,5, то для выполнения этого необходимо, чтобы амплитудно­фазовая характеристика не заходила внутрь окружности, соответствующей этому значению М (рис. 8.27). Амплитудно-фазовая характеристика может только коснуться этой окружности. В этом случае показатель колебатель­ности будет как раз равен заданному значению М_max.

Таким образом, окружность М_тях является запретной зоной для ампли­тудно-фазовой характеристики разомкнутой системы. Эта зона охватывает точку и обеспечивает получение заданного запаса устойчивости.

Величина показателя колебательности может быть определена и в случае использования логарифмических частотных характеристик. Для этого отобра­зим запретную эону (рис. 8.27) на логарифмическую сетку. Рассмотрим отдельно

окружность заданного показателя колебательности (рис. 8.28).

На окружности возьмем произвольную точку В и построим вектор, соеди­няющий эту точку с началом координат. Установим для этого вектора связь между его модулем А и запасом по фазе . Из треугольника ОВО₁ по теореме косинусов находим

3.3 Интегральные критерии оценки качества

Интегральные оценки имеют целью дать общую оценку быстроты зату­хания и величины отклонения регулируемой величины в совокупности, без определения того и другого в отдельности. Простейшей интегральной оцен­кой может служить величина

(8.53)

где х(t) — отклонение регулируемой величины от нового установившегося значения, которое она будет иметь после завершения переходного процесса.

В устойчивой системе при и этот интеграл имеет конечную величину. Геометрически это будет площадь под кривой переходного про­цесса, построенного для отклоне­ния (рис. 8.19, а).

Рисунок 8.19

Площадь будет тем меньше, чем быстрее затухает переходный процесс и чем меньше величина отклонения. Поэтому параметры системы рекомендуется выбирать таким образом, чтобы добиваться минимума этой интегральной оценки.

Для вычисления интеграла нет необходимости в нахождении х(t), так как его можно легко вычи­слить, используя изображение Лапласа или Хевисайда-Карсона. Дейст­вительно, изображение Лапласа определяется выражением

Отсюда следует, что интеграл (8.53) может быть найден посредством предельного перехода :

(8.54)

Неудобством интегральной оценки вида (8.53) является то, что она годится только для монотонных процессов, когда не меняется знак откло­нения х. Если же имеет место колебательный процесс (рис. 8.19, б), то при вычислении интеграла (8.53) площади будут складываться алгебраически и минимум этого интеграла может соответствовать колебаниям с малым затуханием или вообще без затухания. Так как форма переходного процесса при расчете систем регулирования может быть неизвестна, то применять интегральную оценку вида (8.53) оказывается практически нецелесообраз­ным. Поэтому предлагалась другая интегральная оценка:

(8.55)

т. е. сумма абсолютных величин всех площадей по кривой переходного про­цесса. Но оказалось, что вычисление ее по коэффициентам уравнения затруд­нительно.

4. Корректирующие устройства и методы их синтеза Последовательные корректирующие устройства

Введение усилителя

Введение пропорционального корректирующего устройства обеспечивает увеличение общего коэффициента усиления разомкнутой цепи. За счет подъема в области низких частот имеем повышение точности в установившемся режиме. При этом уменьшаются все виды установившихся ошибок системы. Но увеличение этого коэффициента ведёт к уменьшению устойчивости.

Введение производной от ошибки

Такая система позволяет отслеживать не только величину самой ошибки, но и тенденцию к её изменению (что позволяет предугадать поведение системы и быстрее предпринять нужные меры).

При введении производной от ошибки повышается быстродействие САУ. Этот вид коррекции обеспечивает положительный подъем ЛАЧХ в области средних частот. Это приводит к увеличению запаса устойчивости, частота среза сдвигается вправо. В целом ЧХ в области низких частот не изменилась, а следовательно точность не изменяется и введение данного звена на неё не влияет.

Реализовать на практике дифференциатор проблематично поэтому ограничиваются реальным дифференциальным звеном.

Такое звено обеспечивает подъём частотной характеристики разомкнутой САУ только в ограниченной полосе частот от 1/T₁ до 1/T₂. Однако в этой полосе частот эффект сохраняется, при этом выбирают диапазон так чтобы w_ср находилась в диапазоне от 1/T₁ до 1/T₂.

Введение интеграла от ошибки

Введение интеграла от ошибки обеспечивает подъем в области низких частот, что повышает точность в установившемся режиме. Но за счет спада характеристик в остальной области частот, средних и высоких, резко снижается быстродействие и снижается запас устойчивости. При больших значениях к и Т система может стать неустойчивой. При введении 2-х интегралов система становится структурной неустойчивой, если исходная дифференцирующих звеньев не содержит.

Изодромное корректирующее устройство

Полученная частотная характеристика позволяет сделать вывод, что за счет подъема в области низких частот, как и в случае введения интегрирующего устройства, повышается надежность в установившемся режиме. Частотная характеристика в области высоких частот остается без изменений в следствии чего сохраняются остальные показатели качества. Быстродействие без ущерба устойчивости. Это стало возможным за счет того что ведется управление по величине ошибки и по интегралу от ошибки.

Параллельные корректирующие устройства

Параллельные корректирующие устройства подключаются к САУ параллельно корректируемому звену. Возможны 2 схемы:

1. Коррекция с помощью параллельной положительной связи

где –передаточная функция корректирующего устройства

– передаточная функция параллельного корректирующего устройства;

– исходное корректируемое звено

2. Коррекция с помощью отрицательной обратной связи

–передаточная функция корректирующего устройства

– передаточная функция параллельного корректирующего устройства;

– исходное корректируемое звено

КОРРЕКЦИЯ ПО ЗАДАЮЩЕМУ ВОЗДЕЙСТВИЮ

Схема коррекции по задающему воздействию

Передаточная функция по задающему воздействию:

где W₀(p) – исходное звено

W_k(p) – корректирующее

Главная передаточная функция замкнутой САУ по задающему воздействию:

Для полной компенсации ошибки (для полной инвариантности)

Такой случай возможен при

Не всегда возможно аппаратно создать КУ, с ПФ удовлетворяющему условию выше, связи с этим достигается неполная инвариантность (не выполняется когда, w₀=1/p) однако для выполнения поставленных задач этого достаточно.

КОРРЕКТИРУЮЩИЕ УСТРОЙСТВА ПО ВОЗМУЩАЮЩЕМУ ВОЗДЕЙСТВИЮ

В реальной САУ возмущающее воздействие прикладывается к её определённой части. Структурная схема:

Корректирующее устройство в такую цепь вводят следующим образом.

Опишем передаточную функцию замкнутой САУ по возмущению

Условие при котором возмущение уничтожается:

При таком условии влияние f уничтожается уже на входе в звено W₂.

В данном случае также можно ограничиться не полной инвариантностью, если полная инвариантность вызывает технические трудности в реализации W_k.

НЕЕДИНИЧНАЯ ОБРАТНАЯ СВЯЗЬ

Схема корректирующего устройства с неединичной обратной связью

В реализации такого корректирующего устройства возникают те же трудности что и для корректирующего устройства по задающему воздействию.

На практике часто используют

Неединичная обратная связь так же позволяет обеспечить астатизм системы относительно задающего воздействия.

В системе без интегрирующих звеньев соответствующим выбором коэффициента основной и обратной связи может быть обеспечен астатизм относительно задающего воздействия.

Как и в предыдущем случае нестабильность коэффициентов К может служить причиной появления статической ошибки слежения.

Частотный метод синтеза КУ.

Параллельное соединение реального интегрирующего и апериодического 1-го порядка

Дано:

k = 1;

T = 0,1;

Передаточная функция незамкнутой САУ:

ЛАЧХ ЛФЧХ

- Время переходного процесса 0,1 с;

- Перерегулирование 30%.

- Точность 5%.

Исходя из требований тонности и качества переходного процесса построим желаемую ЛАЧХ разомкнутой САУ.

Определим начало желаемой ЛАЧХ:

К_ж=

График желаемой ЛАЧХ будет начинаться в точке 20lg(К_ж)= 20lg(20)=26 дБ.

По заданному значению длительности переходного процесса, использую известное соотношение, определим частоту среза ω_с.

, отсюда,

;

Выбираем желаемую частоту среза ω_с=60 рад/с, строим характеристику с наклоном -20 дБ. Низко- и среднечастотную составляющие соединяем прямой с наклоном 0 дБ.

2). Сравним желаемую ЛАЧХ с имеющейся, найдем их разность. В результате получим частотную характеристику последовательного корректирующего устройства, представленную на рисунке 1.

ЛАЧХ корректирующего устройства будет начинаться в точке 20lg(K_к)= =20lg(20)= 26,02 дБ.

Передаточная функция корректирующего устройства будет иметь вид:

САУ после коррекции показана на рисунке 2.

Рисунок 1 – Частотные характеристики

ЛАЧХ ЛФЧХ

ω_ср = 126; ω_кр=∞

- время окончания переходного процесса:

- график амплитуды начинается в

- перерегулирование

- статическая ошибка

5. Точность сау

Методика даёт общее решение вопросам о влиянии изменения данных параметров на устойчивость САУ.

Используется характеристическое уравнение САУ в такой форме:

(1)

Заменим p на j(w) и перейдём к частотной форме записи:

Представим в виде суммы двух слагаемых:

где - исследуемые параметры (комбинации К и Т).

Рассмотрим построение области устойчивости в плоскости одного комплексного параметра (например влияния ) тогда уравнение (1) может быть представлено в виде суммы двух слагаемых:

Заменяем p на jw:

Выражаем :

Это выражение как и предыдущее уравнения будет состоять из двух частей. Здесь как и в предыдущих случаях (используя критерий Михайлова) можем построить границу D-разбиения:

Изменяя w от 0 до находим X и Y и строим границу D – разбиения.

Граница D – разбиения – геометрическое расположение мнимой оси в плоскости одного параметра, переход означает переход через мнимую ось.

В большинстве случаев интересует граница D – разбиения только на действительной оси, т.к. в большинстве случаев К и Т действительного числа, но в общем случае может быть и комплексные.

Поскольку - вещественное число, то интересует только отрезок устойчивости на вещественной оси. Штриховка D – разбиения производится слева при изменении w от - (от 0) до + , что соответствует положению мнимой оси и расположению левых корней. Претендент на устойчивость 1 – окружена штриховкой. После этого выполняется проверка значений из этой области на устойчивость по критериям устойчивости.

6. Дискретные сау

Виды дискретных САУ. АИМ, ШИМ, ФИМ модуляция.

Дискретность (разделённый, прерывистый), прерывность; противопоставляется непрерывности. Например, дискретное изменение какой-либо величины во времени — это изменение, происходящее через определённые промежутки времени (скачками);

Система автоматического управления называется дискретной, если выходная величина какого – либо ее элемента имеет дискретный характер.

Дискретные САУ содержат элементы «дискретизации», осуществляющие квантование непрерывных сигналов, как во времени, так и по уровню.

Виды дискретных САУ:

1. Импульсные системы. К таковым системам относятся системы в которых имеют место квантование по времени, осуществляемое так называемым импульсным элементом.

Большое внимание к теории и практике дискретных систем объясняется все большим использованием в замкнутом контуре управления цифровых вычислительных машин (ЦВМ). Это обеспечивает системе значительно большие вычислительные возможности, высокую стабильность, простоту перестройки ее структуры и параметров.

Так как информация о состоянии объекта управления является непрерывной, то перед подачей на вход ЦВМ ее необходимо преобразовать в дискретную форму. Эту задачу выполняет преобразователь “аналог–код”, который в теории автоматического управления принято называть импульсным элементом” (ИЭ). Дискретизация осуществляется путем квантования непрерывного сигнала по времени и по уровню. Это означает, что аналоговый сигнал в ИЭ через равные промежутки T заменяется дискретными по уровню значениями, ближайшими к значениям непрерывного сигнала (рис.8.1).

x(t)

x^*(iT)

0 t

T 2T 3T ……..iT……………nT

Рис.8.1. Дискретизация непрерывного сигнала

В результате дискретизации непрерывный сигнал заменяется серией импульсов бесконечно малой длительности, амплитуда которых близка к значениям непрерывного сигнала в моменты дискретизации. Ошибки дискретизации по уровню определяются только точностью представления чисел в ЦВМ и они настолько малы, что ими в практических приложениях можно пренебречь. Это дает возможность рассматривать ИЭ только как дискретизатор по времени. На структурных схемах ИЭ изображается в виде ключа. Серия импульсов x^*(iT) на выходе импульсного элемента называется решетчатой функцией. После производства вычислений на выходе ЦВМ информация появляется также в виде решетчатой функции. Перед подачей этой информации на исполнительную систему, которая является аналоговой, ее необходимо преобразовать из дискретной в непрерывную. Эту задачу решают преобразователи “код – аналог”, которые в теории автоматического управления получили название экстраполяторов. В полном соответствии со своим наименованием, эти устройства экстраполируют значение сигнала на такт вперед. Наиболее часто используется экстраполятор нулевого порядка, который реализует операцию

(1)

(2)

Импульсный элемент возбуждается в равноотстоящие дискретные моменты времени. (2)

- период квантования.

Обычно возбуждение осуществляется от некоторого задающего импульсного генератора на постоянной частоте

При этом непрерывная (аналоговая) входная величина X(t) пропорционально модулирует один из параметров выходной импульсной последовательности (амплитуду, ширину импульсов (длительность), фазу)

1. Амплитудно - импульсная модуляция (аим)

При использовании импульсных методов для передачи аналого­вых сигналов необходимо сначала преобразовать аналоговые данные в импульсную форму. Это преобразование также относится к моду­ляции, так как аналоговые данные используются для модулиро­вания (изменения) последовательности импульсов или импульсной поднесущей. На рис. 8, а показана модуляция синусоидальным сиг­налом амплитуд последовательности импульсов.

Рис. 8. Форма сигналов амплитудно-импульсной модуляции.

а—форма модулированного сигнала; б—воспроизведенная форма сигнала при низкой часто­те следования импульсов, Т1 — период последовательности импульсов; в — воспроизведенная форма сигнала при высокой частоте следования импульсов, Т2 — период последовательности импульсов.

Фаза импульсной последовательности Xi(t) совпадает с фазой ;

Длительность импульса – постоянная .

Здесь введено обозначение - это решетчатая функция, порождаемая непрерывной X(t).

2. Широтно – импульсная модуляция (шим) Широтно-импульсная модуляция состоит в изменении ширины (длительности) импульсов, следующих друг за другом с постоянной частотой.

; - const.

1. Фазово – импульсная модуляция (фим)

; - const.

- фаза n-ого импульса выходной последовательности относительно фазы n-ого возбуждающего генератора ( )

Релейные системы. Цифровые САУ.

1. Релейные системы.

Это системы с квантованием по уровню. Осуществляется релейным элементом. Так же есть квантование во времени.

Высота ступенек одинаковая (=h)

Дискретизация по уровню – многоуровневое реле.

Выходной сигнал релейного элемента изменяется ступенчато в неопределенные заранее моменты времени (асинхронно) и по уровню может менять конечный, заранее определенный набор значений.

В каждый момент времени это ближайшие к X(t) значения (н-р верхнее из разрешенных).

2. Цифровые системы.

Имеет одновременно квантование как по уровню, так и по времени.

В электрических цепях такое преобразование осуществляет синхронный АЦП.

Формально, цифровой дискретизатор АЦП может быть представлен из 2-х частей (как последовательно соединение импульсного и решетчатого элемента)

Дискретные системы имеют в сравнении с аналоговыми ряд преимуществ:

1. Высокий собственный КПД. Особенно важно для силовых исполнительных узлов САУ. (Н-р: тиристорные и транзисторные ШИМ усилители)

2. Высокая помехозащищенность, характерная для дискретных преобразователей и их каналов передачи

3. Высокая точность обработки данных и возможность использования ЭВМ и контроллеров

Приведение дискретной САУ к эквивалентной непрерывной. Квантование во времени.

Строго говоря, операции квантования не может быть противопоставлено эквивалентное непрерывное звено.

Квантование во времени создает новый тип сигналов функции дискретного времени. Квантование по уровню нелинейно (принципиально не линейно 2-х уровневое реле).

Вместе с тем, вполне очевидно, что если интервалы квантования по уровню или времени достаточно малы, то дискретностью сигналов можно пренебречь, рассматривая их как непрерывные функции времени, а операции в элементах дискретизации считать обычным линейным преобразованием физических величин, причем безынерционным и пропорциональным.

Например, в синхронном АЦП, в преобразовании вида

,

при достаточно малом весе младшего разряда, при и высокой частоте дискретизации.

Найдем условия, при которых дискретную систему можно представить эквивалентной непрерывной.

Квантование во времени

Обычно, импульсную систему представляют в виде:

; и т.д.

Если низкочастотная часть линейна, то она описывается типовыми зависимостями.

Импульсный элемент формирует импульсную последовательность , с постоянной частотой дискретизации , где T – период дискретизации.

Причем 1 из параметров этой последовательности пропорционально модулируемый решетчатой функцией.

- ширина, фаза, амплитуда импульсной последовательности .

Решетчатая функция представляет собой пронумерованную последовательность дискрет, которая порождает непрерывная функция X(t).

, где n-номер дискрета (такта дискретизации).

Импульсный элемент можно представить в виде 2-х составляющих:

1 – идеальный импульсный элемент. Он генерирует моделированную входным сигналом последовательность дельта – функции.

2 – ФЦ – формирующая цепь непрерывного действия (реакция S(t); которая на каждый импульс равна заданной форме импульса, последовательности .

Наиболее просто представить для случая импульсной модуляции. Достаточно выбрать в качестве формирующей цепи линейное звено с весовой или линейной функции с S_зад(t) – заданная форма импульса.

Н-р для прямоугольного импульса:

В таком случае формирующая цепь представляется линейным звеном с передаточной функцией.

В случае ШИМ модулирования формирующая цепь – нелинейное звено, поскольку параметр в - зависит от величины входного сигнала. Во всех случаях формирующую цепь можно отнести к НЧ системе и в анализе специфики не рассматривать квантование.

С целью выявления этой специфики, рассмотрим свойства идеального импульсного элемента.

Свойства идеального импульсного элемента. Уравнения связи изображений входного и выходного сигналов идеального импульсного элемента. Спектральные (частотные) свойства ИИЭ

Амплтудно-импульсный элемент реагирует на равноотстоящие друг от друга значения входного сигнала f(t) при t=nT. Его выходной сигнал f_p^*(t) является последовательностью импульсов определенной формы, амплитуда которых пропорциональна значениям f(nT) (см. рис.2 .1).

Рис. 2.1. Входной и выходной сигналы амплитудно-импульсного элемента.

Другими словами, выход амплитудно-импульсного элемента (квантователя) f_p^*(t) представляет последовательность импульсов конечной длительности p, амплитуда которых промодулирована входным сигналом f(t) (см. рис. 2.2 и рис.2.3).

Рис. 2.2. Схема квантователя с постоянным периодом и конечным временем выборки

Рис. 2.3. Входной и выходной сигналы квантователя с постоянным периодом

Заметим, что в реальном импульсном элементе форма импульса квантователя может быть произвольной, не обязательно прямоугольной.

От реального импульсного элемента удобно перейти к идеальному элементу. При этом реальный импульсный элемент может быть представлен как последовательное соединение идеального импульсного элемента и формирующей цепи, реакция которой  на импульсное воздействие равна w(t). Частотная характеристика формирующей цепи и изображение её выходного сигнала обозначим соответственно W(jω) и W(s).

Рис. 2.4. Представление реального импульсного элемента как соединения идеального импульсного элемента и формирующей цепи.

Рассмотрим идеальный импульсный элемент. В соответствии с определением уравнение, связывающее входной x(t) и выходной сигналы ИИЭ, имеет вид

, (2)

т.е. выходная переменная есть последовательность -функций, промоделированных входным сигналом. При этом

,

т.е. преобразование Лапласа выходной величины ИИЭ равно дис­кретному преобразованию Лапласа решетчатой функции x[nT]. Связь между изображениями непрерывной x(t) и решетчатой x[nT] функций устанавливается зависимостью

(3)

В итоге ИИЭ может быть описан зависимостями (2) или (3). Зависимость (2) устанавливает связь между входной x(t) и выходной переменными, зависимость (3) - между соответствующими изображениями.

Свойства:

Идеальный импульсный элемент можно представить как квантователь с бесконечно малым временем выборки p, тогда выходной сигнал такого квантователя f_p^*(t) равен:

f_p^*(t) = f(nT) при t = nT ;

f_p^*(t) = 0 при t = 0.                                           (2.1)

Последнее можно представить, как модуляцию несущего сигнала вида

                               (2.2)

входным сигналом f(t), где δ_Т(t) представляет собой последовательность единичных импульсов (площадь которых равна единице), равноотстоящих по времени, начинающихся при минус бесконечности и продолжающихся до плюс бесконечности, как показано на рис. 2.6.

Рис. 2.6. Последовательность единичных импульсов

Выходной сигнал f*(t) идеального квантователя можно записать в форме

                                         (2.3)

Предполагая, что квантование начинается с момента времени t = 0, можно получить выражение для преобразования Лапласа выходного сигнала квантователя.

                    (2.4)

В последнем выражении учитывается, что δ-функция всюду равна нулю, кроме точки t = kT. Кроме того, учитывая, что

L{ δ_Т(t-kT)} = e^-pkT

получаем:

                                                                        (2.5)

Последнее выражение называется также дискретным преобразованием Лапласа или D-преобразованием, поскольку в нём вместо непрерывных функций f(t) фигурируют решётчатые функции f(kT).

Подставим в (2.4) выражение δ_Т(t) через ряд Фурье; получим

На основании свойств преобразования Лапласа

L{f(t)·e^jkω0^t} = F(s – jkω₀).

Таким образом,

    (2.6)

Соотношение (2.6) устанавливает связь между изображениями непрерывной F(s) и решётчатой функций F*(s). Операцию нахождения F*(s) по изображению F(s) называют D-преобразованием.

Выражение (2.6) имеет вид бесконечного ряда, откуда следует, что выходная величина импульсного элемента содержит высокочастотные составляющие.

Предположим, что частотный спектр входной величины имеет вид, показанный на рис. 2.7а. В этом случае спектр выходного сигнала импульсного элемента содержит в себе спектр входной величины, а также составляющие других частот, как показано на рис. 2.7б. Этот рисунок соответствует случаю, когда частота самой высокочастотной составляющей входной величины меньше половины частоты квантования (ω_с > ω₀/2.)

Рис. 2.7. Амплитудные спектры входного и выходного сигналов идеального квантователя: а – амплитудный спектр непрерывного входного сигнала f(t); б – амплитудный спектр выходного сигнала (ω₀ > 2 ω_c).

Очевидно, что при таком выборе частоты квантования ω₀ возможно (чисто теоретически) восстановить входной сигнал без всякого искажения. Если же частота повторения меньше удвоенной частоты самой высокочастотной составляющей входной величины, то выходная величина импульсного элемента искажается по отношению к входному сигналу (см. рис. 2.8).

                        а)                                                                     б)

Рис. 2.8. Амплитудные спектры входного и выходного сигналов идеального квантователя: а – амплитудный спектр непрерывного входного сигнала f(t); б – амплитудный спектр выходного сигнала (ω₀ < 2 ω_c).

Соответствующие временные зависимости входных и выходных сигналов импульсного элемента показаны на рис. 2.9.

Рис. 2.9. Входные и выходные сигналы идеального импульсного элемента:

а – входной, б – выходной сигналы при ω₀ > 2 ω_c; в – входной, г – выходной сигналы при ω₀ < 2 ω_c.

Условия эквивалентности преобразования информации в ИЭ. Теорема Котельникова.

В 1933 г. была опубликована работа В.А.Котельникова «О пропускной способности эфира и проволоки электросвязи» Материалы радиосекции к I Всесоюзному съезду по реконструкции связи, Всесоюзный энергетический комитет. В работе был сформулирован следующий фундаментальный вывод:

Для восстановления входной величины частота повторения должна быть больше или равна частоте самой высокочастотной составляющей входной величины:

ω₀ / 2 ω_c.                                                      (2.7)

Теорема Котельникова (в англоязычной литературе — теорема Найквиста — Шеннона или теорема отсчётов) гласит, что, если аналоговый сигнал   имеет конечный (ограниченный по ширине) спектр, то он может быть восстановлен однозначно и без потерь по своим отсчётам, взятым с частотой, строго большей удвоенной верхней частоты  :

Если же условия теоремы Котельникова нарушаются и отсчеты во времени берутся недостаточно часто, то однозначное восстановление исходного сигнала принципиально невозможно. Через отсчетные точки можно провести бесчисленное множество кривых, спектральные плотности которых отличны от нуля вне полосы

Такая трактовка рассматривает идеальный случай, когда сигнал начался бесконечно давно и никогда не закончится, а также не имеет во временной характеристике точек разрыва. Именно это подразумевает понятие «спектр, ограниченный частотой  ».

Разумеется, реальные сигналы (например, звук на цифровом носителе) не обладают такими свойствами, так как они конечны по времени и обычно имеют разрывы во временной характеристике. Соответственно, их спектр бесконечен. В таком случае полное восстановление сигнала невозможно и из теоремы Котельникова вытекают два следствия:

• Любой аналоговый сигнал может быть восстановлен с какой угодно точностью по своим дискретным отсчётам, взятым с частотой  , где   — максимальная частота, которой ограничен спектр реального сигнала;

• Если максимальная частота в сигнале превышает половину частоты дискретизации, то способа восстановить сигнал из дискретного в аналоговый без искажений не существует.

Типовая структура цифровой САУ.

В современных САУ для реализации сложных алгоритмов управления применяют как аналоговые, так и цифровые ЭВМ. Аналоговые вычислительные устройства используют, например, для сложения и вычитания воздействий в контурах управления, вычитания производных и интегралов, построения перестраиваемых моделей ОУ в адаптивных системах, т.е. там, где реализуются основные достоинства аналоговой техники: большое быстродействие, возможность работы в реальном масштабе времени и непосредственного сопряжения с измерительными и исполнительными устройствами, относительная простота, высокая экономическая эффективность. Но недостаточные точность и помехоустойчивость аналоговых устройств, неудобство и ограниченные возможности программирования, а также все возрастающая сложность подлежащих реализации алгоритмов обуславливают применение цифровых ЭВМ.

При использовании цифровой вычислительной техники в САУ необходимо преобразовывать аналоговые сигналы в цифровые при вводе их в цифровую вычислительную машину (ЦВМ) и цифровые сигналы в аналоговые при их выводе. Для этого используют соответственно аналого-цифровые (АЦП) и цифровые (ЦАП) преобразователи, рисунок 8.1.

ИУ – исполнительное устройство; ОУ – объект управления; U – управляющее воздействие; F – возмущающее воздействие

Рисунок 8.1 Упрощенная структурная схема цифровой САУ

В САУ используют как специализированные цифровые вычислительные устройства, так и серийные ЦВМ. Специализированные вычислительные устройства управления, иначе называют цифровыми регуляторами, разрабатываются специально для конкретных САУ, т.е. использование их рационально в тех случаях, когда программы управления постоянны и перепрограммирование не требуется. В настоящее время для этих целей все шире применяют встроенные микропроцессоры, сочетающие в себе большие алгоритмические возможности с высокой экономической эффективностью (например, при построении систем числового программного управления станками и промышленными роботами-манипуляторами).

В системы автоматического управления ЦВУ можно включать вне замкнутого контура управления, в замкнутый контур управления и в качестве элемента сравнения. Наиболее характерные примеры включения ЦВУ в состав систем управления приведены на рис. 5.1.2.

Рис. 5.1.2.

В системах первого типа (ЦВУ вне замкнутого контура управления, рис. 5.1.2-1) с помощью аналогово-цифрового преобразователя (АЦП) непрерывное (аналоговое) воздействие u(t) преобразуется в цифровой код u_k. ЦВУ на основании поступающей информации вырабатывает оптимальное задающее воздействие u'_k. Последнее с помощью цифро-аналогового преобразователя (ЦАП) преобразуется в непрерывный сигнал u'(t) и поступает на элемент сравнения (ЭС) замкнутой системы, сигнал которого поступает на вход объекта управления (ОУ). Замкнутый контур системы может быть непрерывным либо импульсным. Достоинство такой ЦАС состоит в простоте изменения программы ЦВУ, в соответствии с которой вырабатывается задающее воздействие.

В системах второго типа (ЦВУ в контуре управления, рис. 5.1.2-2) вычислительное устройство, включенное в прямую цепь замкнутого контура системы, выполняет функцию последовательного корректирующего устройства. В системах третьего типа (рис. 5.1.2-3) ЦВУ включено в цепь местной обратной связи, охватывающей непрерывную часть ОУ системы, и является параллельным корректирующим устройством. Цифровые корректирующие устройства в этих системах позволяют реализовать сложные алгоритмы управления.

В системах четвертого типа (рис. 5.1.2-4) ЦВУ выполняет функции элемента сравнения и корректирующего устройства. В этой системе на цифровой элемент сравнения задающее воздействие u_k и управляемая величина y_k поступают в цифровой форме через соответствующие АЦП. На выходе элемента сравнения сигнал рассогласования также получается в виде кода e_k. С помощью преобразователя ЦАП цифровой код преобразуется в непрерывный сигнал e(t), поступающий на ОУ системы. ЦАС четвертого типа обладает всеми качествами первого, второго и третьего типов, а благодаря более высокой разрешающей способности элемента сравнения обладает более высокой точностью.

Преобразователи АЦП (аналог → код) являются устройствами, осуществляющими автоматическое преобразование непрерывно изменяющихся во времени аналоговых физических величин в дискретную цифровую форму с эквивалентными значениями числовых кодов в определенной системе счисления (двоичной, восьмеричной, десятичной и т.п.).

В качестве входных аналоговых величин обычно действуют временные интервалы, углы поворота, электрические напряжения или токи, частота колебаний, фазовые сдвиги. Важной характеристикой АЦП является количество каналов, определяющее максимальное число датчиков аналоговых величин, которые могут быть одновременно подключены к преобразователю.

Из множества применяемых преобразователей можно выделить три основных группы:

1) преобразователи пространственных перемещений и углов поворота в цифровой код;

2) преобразователи электрических величин (напряжений, токов, и др.) в код;

3) преобразователи интервалов времени в цифровой код.

Преобразователи ЦАП (код → аналог) являются устройствами, осуществляющими автоматическое декодирование входных величин, представляемых числовыми кодами, в эквивалентные им значения какой-либо физической величины, чаще всего - напряжения.

Для преобразования цифрового кода в напряжение используются сопротивления, соединенные с кодовым счетчиком по определенной схеме, включение которых на источник эталонного напряжения происходит в соответствии с декодируемым числом, при этом выходное напряжение, снимаемое с нагрузки, пропорционально декодируемому числу. Основным типом преобразователей код-напряжение являются преобразователи с суммированием напряжений на аттенюаторе сопротивлений. Чтобы преобразовать числа разных знаков, необходимо на входе схемы установить знаковый триггер, а на выходе схемы предусмотреть возможность получения напряжения разной полярности. Преобразователи обладают высоким быстродействием, достаточной точностью (точность преобразования может быть доведена до 0,05... 0,1 %), имеют сравнительно простую схему и обеспечивают пропорциональное преобразование кодов с числом разрядов n ≤ 10, что вполне достаточно для цифровых автоматических систем.