3.1(Б) Приближенная оценка вида переходного процесса по вещественной частотной характеристике

Построение кривой переходного процесса является в большинстве слу­чаев весьма трудоемкой операцией. Поэтому целесообразно использовать методы, позволяющие определить вид переходной характеристики без построения всей кривой процесса. Это можно сделать по вещественной частот­ной характеристике Р ( ) замкнутой системы, которая используется для построения переходной функции. При этом предполагается, что переходный процесс у(t) вызван скачком задающего воздействия g(t). Возможна оценка вида переходного процесса при приложении скачка воз­мущения . В этом случае необходимо использовать вещественную часть частотной передаточной функции системы по возмущающему воздействию .

Использование оценки вида переходного процесса по вещественной частотной характеристике наиболее удобно применять в том случае, когда для исследования автоматической системы используются частотные методы.

Рис. 3.1.

Пусть вещественная частотная характеристика замкнутой системы имеет вид, изображенный на рис. 3.1.

Интервал частот , в котором , называется интер­валом положительности. Интервал частот называется интерва­лом существенных частот. Если при и далее при величина становит­ся и остается меньше некоторой заданной доста­точно малой положительной величины , влия­нием остальной части вещественной частотной характеристики (при ) на качество пе­реходного процесса можно пренебречь. Если же при оказывается, что , то при оценке качества переходно­го процесса в первом приближении можно при­нимать во внимание только интервал поло­жительности .

Заметим, что отбрасываемый «хвост» ве­щественной частотной характеристики ( или ) влияет глав­ным образом на начальную часть переходного процесса, которая, следо­вательно, будет оцениваться более грубо. Начало же вещественной частот­ной характеристики определяет главным образом концевую часть переход­ного процесса.

На основании анализа интеграла (7.53) были получены следующие оценки качества переходного процесса.

1. Статическое отклонение регулируемой величины, получаю­щееся в результате единичного скачка внешнего воздействия, равно началь­ному значению вещественной частотной характеристики Р(0). Если речь идет о скачке задающего воздействия, то Р(0) должно равняться либо 1, либо некоторому к₀, если система должна воспроизводить задающее воз­действие в определенном масштабе к₀. Если же вводится скачок возмущаю­щего воздействия f, то значение P_F(0) должно быть как можно меньше, причем в астатической системе возможно P_F (0) = 0.

2. Чтобы величина перерегулирования не превышала 18% от статического отклонения, достаточно иметь положительную невозрастающую непрерывную характеристику .

3. Для монотонности переходного процесса у(t) достаточно, чтобы представляла собой отрицательную, убывающую по модулю непрерывную функцию от , причем .

4. Простейшим признаком немонотонности переходного процесса являет­ся наличие значений (кривая 3 на рис. 8.7, б). Переходный процесс тоже будет немонотонным, когда кривая располагается при каких-нибудь выше ступенчатой кривой (рис. 8.7, в), причем где через обозначены целочисленные значения, взятые с избытком;

например, если , то берется

5. В случае, если вещественная частотная характеристика имеет очертание вида кривой 3 (рис. 8.7, б), которую можно представить как

разность двух положительных невозрастающих непрерывных функций, то величина перерегулирования (рис. 8.7, а) будет меньше, чем 1,18 .

6. Для монотонных процессов у(t) время затухания t₁ до значения

у=5% от статического отклонения будет больше, чем . В общем же случае . Вообще при прочих равных условиях переходный процесс тем быстрее затухает, чем больше т. е. чем больше растянута область

положительности вещественной частотной характеристики вдоль оси .

7. Если заданную вещественную частотную характеристику можно приближенно заменить трапецией (рис. 8.8, а), то в зависимости от отноше­ния длин оснований и трапеции величина перерегулирования в про­центах и время затухания переходного процесса в относительном виде со могут быть приближенно оценены графиками, показанными на рис. 8.8, б и 8.8, в, причем величина t₁ заключается в интервале .

3.2 Частотные показатели и оценки качества

8,9 Частотные критерии качества

Под частотными критериями качества будем понимать такие критерии, которые не рассматривают вида переходного процесса, а базируются на некоторых частотных свойствах системы. Частотные критерии качества осо­бенно удобно применять при использовании частотных методов расчета, так как при этом получается наиболее простое решение задачи.

Частотные критерии наиболее разработаны в отношении оценки запаса устойчивости. Запас устойчивости можно определять по удалению амплитуд­но-фазовой характеристики разомкнутой системы (рис. 8.24, а) от точки . Для этой цели вводятся понятия запаса устойчивости по амплитуде (модулю) и запаса устойчивости по фазе.

Для общего случая условной устойчивости, изображенного на рис. 8.24,а, запас устойчивости по амплитуде определяется двумя точками а и с, и, соот­ветственно, двумя величинами, выраженными обычно в децибелах:

, .

Запас устойчивости по амплитуде тем больше, чем больше и . В хорошо демпфированных системах эти величины составляют примерно 6–20 дб, что соответствует 2–10 в линейном масштабе.

В случае абсолютной устойчивости смысл имеет только величина так как .

Запасом устойчивости по фазе называется запас по фазе ,

где – аргумент частотной передаточной функции разомкнутой системы, соответствующий модулю, равному единице (точка b на рис. 8.24, а):

сдвиг по фазе определяется условием

В хорошо демпфированных системах запас по фазе составляет около 30–60°.

В некоторых случаях вместо задания дискретных точек, определяющих запас устойчивости системы регулирования (точки а, b и с на рис. 8.24, а), задают некоторую запретную об­ласть для амплитудно-фазовой ха­рактеристики разомкнутой систе­мы. Эта запретная область окру­жает точку и может быть построена по заданным значениям запаса устойчивости по фазе и запаса устойчивости по модулю (рис. 8.24, б).

Недостатком рассмотренного критерия является то, что для оп­ределения запаса устойчивости не­обходимо задать два числа: и .

В этом отношении более удобно определять запас устойчивости по показателю колебательности. Пока­зателем колебательности называется максимальное значение ординаты M_mах амплитудной характеристики замкнутой системы (см. рис. 8.25) при начальной ординате, равной единице, т. е. относительная высота резонанс­ного пика. Физически эта характеристика представляет собой следующее. Если управляющий сигнал на входе системы регулирования меняется по закону , то регулируемая величина в режиме установивших­ся вынужденных колебаний будет меняться по закону . Отношение амплитуд и определяется модулем частотной передаточной функции замкнутой системы:

(8.81)

где – частотная передаточная функция разомкнутой системы.

Максимальное значение этого модуля и представляет собой показатель колебательности (имеется в виду наибольший максимум)

(8.82)

Как видно из этих рассуждений, показатель колебательности определяет­ся посредством задания задающего воздействия . В прин­ципе возможно определение показателя колебательности системы посредством задания возмущающего воздействия и отыскания относитель­ной величины резонансного пика.

Чем меньше запас устойчивости, тем больше склонность системы к коле­баниям и тем выше резонансный пик. Допустимое значение показателя коле­бательности определяется на основании опыта эксплуатации систем регули­рования. Считается, что в хорошо демпфированных системах регулирования показатель колебательности не должен превосходить значений 1,1–1,5, хотя в некоторых случаях можно допускать величины до 2–2,5.

Для отыскания показателя колебательности системы регулирования нет необходимости строить амплитудную частотную характеристику (рис. 8.25)

или отыскивать максимум (8.82). Существуют приемы, позволяющие найти показатель колебательности по виду амплитудно-фазовой характеристики разомкнутой системы. Возьмем на амплитудной характеристике (рис. 8.25) некоторую точку а, которой соответствует ордината М, и отобразим эту точку на комплексную плоскость частотной передаточной функции разомкну­той системы. Для этого рассмотрим уравнение