Эта работа (рсд) равна

РСД = P₁D ₁DS₁ – P₂D ₂DS₂,

т.к. D ₁ DS₁ = D ₂ DS₂ = DV, то РСД = (P₁-P₂)DV,

где Р₁ и Р₂ - гидродинамическое давление соответственно в

сечениях 1-1 и 2-2.

Работа сил давления окружающей жидкости на боковую поверхность отсека АВ равна нулю, так как силы направлены по нормали к перемещению жидких частиц, движущихся вдоль боковой поверхности отсека АВ.

Поскольку мы рассматриваем идеальную жидкость, то работу сил трения не должны учитывать, т.к. в идеальной жидкости силы трения отсутствуют.

Используя теорему изменения кинетической энергии, можно записать

D К_Э = PCT+PCД ,

и подставляя значения входящих величин получим

Разделим это выражение на rgDV,т.е. отнесем его к единице веса того объема жидкости, которое проходит за время Dt через живое сечение струек. Уравнение примет вид:

т.к. сечения 1-1 и 2-2 намечены произвольно, то полученное уравнение можно переписать как

(1)

Это уравнение называется уравнением Даниила Бернулли, выведен им в 1738 году и читается так:

"Для любого сечения установившегося потока идеальной жидкости полная удельная энергия, равна сумме удельной энергии давления, удельной энергии положения и удельной кинетической энергии, есть величина постоянная".

Члены уравнения Бернулли имеют линейную размерность и называются:

Z-геометрической высотой и геометрическим напором;

- пьезометрической высотой или пьезометрическим напором;

- скоростной высотой или скоростным напором.

В то же время каждый член уравнения Бернулли представляет собой определяемый вид энергии, например:

Z-удельная потенциальная энергия положения;

- удельная потенциальная энергия давления;

- удельная кинетическая энергия. Таким образом, каждый член уравнения Бернулли имеет два значения.

В зависимости от чего, какое значение придать членам уравнения Бернулли, последнее имеет два смысла.

Геометрический смысл уравнения Бернулли.

(2)

Для установившегося потока идеальной жидкости сумма трех высот: геометрической, пьезометрической и скоростной есть величина постоянная ( рисунок 2 ).

Рисунок 2

Энергетический смысл уравнения Бернулли

(3)

Трехчлен представляет собой полную удельную энергию идеальной жидкости, а сумма есть полная удельная потенциальная энергия.

Таким образом, энергетический смысл уравнения Бернулли для идеальной жидкости можно прочитать так:

Для установившегося потока идеальной жидкости полная удельная энергия жидкости сохраняет постоянное значение вдоль потока.

1. Уравнение Бернулли для реальной жидкости

Реальная вязкая жидкость характеризуется наличием сил трения, которые возникают при движении, Силы трения в потоке жидкости. состоящем из множества элементарных струек, играет двоякую роль: - во- первых, благодаря работе сил трения часть механической энергии жидкости переходит в тепло, которое рассеивается: - во- вторых, в связи с наличием сил трения между отдельными элементарными струйками создаются условия, при которых механическая энергия одной струйки передается другой (соседней) струйке, получается «диффузия» механической энергии через боковые поверхности струек; в результате возникает поток энергии движущейся поперек потока жидкости.

Если в место идеальной жидкости рассматривать жидкость реальную, то уравнение Бернулли должно будет существенно измениться. Действительно, если при движении идеальной жидкости ее полная удельная энергия или напор Н сохраняет постоянное значение по длине струйки, то при движении реальной жидкости эта энергия будет убывать по направлению движения. Причиной этого являются неизбежные затраты энергии на преодоление сопротивлений движению, обусловленные внуренним трением и вязкостью жидкости.

Поэтому для струйки реальной жидкости полная удельная

энергия в сечении 1-1 будет всегда больше, чем полная удельная энергия в сечении 2-2.

На величину указанных потерь энергии, и уравнение Бернулли в силу этого получает вид

Величина Е_1-2 является мерой энергии потерянной единицей массы жидкости на преодолении сопротивлений при её движении между указанными сечениями.

Соответствущий этой потери удельной энергии напора называют потерей напора между сечениями 1-1 и 2-2 и обозначают h_1-2.

По этому уравнение Бернулли для элементарной струйки реальной жидкости можно представить также и в следующем виде

(4)

При решении различных практических вопросов о движении жидкости приходится иметь тело с потоками конечных размеров. Уравнение Бернулли для потока реальной жидкости в этом случае может быть получено исходя из рассмотрения потока, как совокупность множества элементарных струек.

Уравнение Бернулли для потока реальной жидкости имеет вид:

, (5)

где a₁ и a₂ - коэффициент Кориолиса.

Коэффициент Кориолиса учитывает неравномерность распределения скоростей в живом сечении потока . Необходимость использования коэффициента Кориолиса объясняется тем , что в уравнении Бернулли участвуют не фактические местные скорости потока, а средние по сечениям .

Для ламинарного режима движения жидкости коэффициент Кориолиса равен –2, а для турбулентного движения a=1,01…1,03. Для практических расчетов при турбулентном режиме часто коэффициент Кориолиса принимают равным единице.

Уравнение Бернулли для реальной жидкости формулируется так:

Изменение полной удельной энергии, которой обладает поток жидкости в начальном сечении потока, равняется некоторой части от этой энергии, израсходованной на преодоление сопративлений движению жидкости на участке от начального до конечного сечения потока.

График уравнения Бернулли для реальной жидкости имеет следующий вид (рисунок 3).

Рисунок 3.