Метод анализа иерархий

Метод анализа иерархий (МАИ) разработан американским исследователем Томасом Саати. Этот метод ориентирован на сложные системные задачи с плохой структурой (слабоструктуризованные и неструктуризованные), которые решаются в условиях многовариантности, многокритериальности, неопределенности и риска.

Метод основан на структуризации решаемой задачи в виде многоуровневой иерархической модели (выполняется декомпозиция решаемой сложной задачи на более простые составляющие) и активном использовании процедур парных сравнений, учитывающих субъективные предпочтения ЛПР.

МАИ прошел апробацию и доказал свою эффективность на самых разных уровнях управления; позволяет работать с неполными и неточными исходными данными, представленными в различной форме – в виде количественных оценок, качественных оценок, оценок типа «да» - «нет», интервальных оценок, результатов ранжирования и др.; постоянно развивается и используется в компьютерных системах поддержки принятия решений различных уровней и назначения (например, Expert Choice, Decide, ПРАИС).

Недостатком метода является большой объем данных, которые запрашиваются у пользователя СППР в процессе решения сложной системной задачи.

На основе МАИ могут быть решены следующие задачи:

• задачи планирования и управления (планирование инвестиций, разработка программ развития предприятий, отраслей экономики, территорий и др.);

• задачи проектирования (выбор проектов строительства сооружений различного назначения, вариантов конструкций, модификаций изделий и др.);

• задачи прогнозирования (разработка сценариев развития отраслей экономики, научных направлений и различных систем);

• задачи реинжиниринга бизнес-процессов и организаций;

• задачи принятия компромиссных решений в конфликтных ситуациях.

Для реализации процедур парных сравнений (при заполнении матриц парных сравнений) Т. Саати предложил использование следующей шкалы оценок:

1 – А_j и А_i одинаково важны;

3 – А_j незначительно важнее, чем А_i;

5 – А_j значительно важнее, чем А_i;

7 – А_j явно важнее, чем А_i;

9 – А_j абсолютно превосходит А_i.

Примечание: j - строки, i - столбцы матрицы; допускаются промежуточные оценки 2, 4, 6, 8 и используются обратные (например, ⅓, ⅛).

Матрице парных сравнений свойственна обратная симметричность: интенсивность предпочтения А_j над А_i обратна интенсивности предпочтения А_i над А_j.

Для расчета весов критериев и получения оценок альтернатив по результатам парных сравнений Т. Саати разработал 4 вычислительных приближенных алгоритма (методы получения приоритетов объектов сравнения):

1. Суммируются элементы каждой строки матрицы; полученные значения нормируются - сумма каждой строки делится на общую сумму.

2. Элементы столбцов суммируются; для каждой суммы находится обратное значение; полученные значения нормируются.

3. Каждый элемент столбца нормируется относительно суммы элементов по столбцу; нормированные элементы строк суммируются; полученные значения делятся на n - число альтернатив или критериев (объектов).

4. Для каждой строки находится средняя геометрическая величина (n элементов строки перемножаются, и извлекается корень степени n); полученные значения нормируются.

Указанные алгоритмы обеспечивают достаточную для практики точность, причем они расположены в порядке возрастания точности – наилучшее приближение дает применение четвертого алгоритма. Точное решение получается путем возведения матрицы в произвольно большие степени и деления суммы каждой строки на общую сумму элементов матрицы.

Оценка степени согласованности при заполнении матрицы парных сравнений производится по формуле:

где В – расчетная величина, получаемая следующим образом: суммируются оценки по каждому столбцу матрицы, затем сумма каждого столбца умножается на вес соответствующей альтернативы, после этого полученные значения суммируются;

С – коэффициент, определяемый по данным таблицы:

n	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
С	0	0	0,58	0,90	1,12	1,24	1,32	1,41	1,45	1,49

Если d≤20%, то достигнута приемлемая степень согласованности при заполнении матрицы парных сравнений. В противном случае необходимо пересмотреть исходные данные и заново заполнить матрицу парных сравнений.

Рассмотрим сущность метода на примере выбора рационального варианта для размещения офиса.

Некоторая фирма провела анализ рынка офисных помещений и отобрала несколько потенциально возможных вариантов:

Критерии оценки альтернатив	Варианты офисных помещений
	А1	А2	А3	А4	А5
К1 – общая площадь помещений, кв.м	470	260	660	450	270
К2 – состояние помещений	требуется ремонт	не требуется ремонт	требуется ремонт	требуется ремонт	выполнен косметический ремонт
К3 – возможность парковки	нет	нет	есть	нет	есть
К4 – уровень телефонизации, кол-во линий	1	2	1	1	3
К5 – стоимость помещений, у.е./кв.м	1065	1615	810	1195	1370

Система предпочтений на множестве частных критериев: К₁, К₂, К₅, К₃, К₄.

Множество Парето оптимальных вариантов офисных помещений – А₂, А₃, А₅.

Определим рациональный вариант для размещения офиса на основе МАИ.

Этап 1. Решаемая задача представляется в виде многоуровневой иерархической модели

У

Рациональный офис

ровень1

( стратегическая цель)

У

К₁

К₂

К₃

К₄

К₅

ровень 2

( множество критериев)

У

А₂

А₃

А₅

ровень 3

(множество альтернатив)

Этап 2. Выполняется сравнение критериев попарно по их важности; рассчитываются веса частных критериев

Используя шкалу оценок Т. Саати, заполняем матрицу парных сравнений критериев по важности:

	К1	К2	К3	К4	К5
К1	1	2	6	8	4
К2	1/2	1	5	7	2
К3	1/6	1/5	1	3	1/3
К4	1/8	1/7	1/3	1	1/5
К5	1/4	1/2	3	5	1

Расчет весов частных критериев произведем по алгоритму 4:

Находим средние геометрические по строкам матрицы (извлекаем корень 5-й степени из произведений элементов строк матрицы):

К₁ – 3,288; К₂ – 2,036; К₃ – 0,506; К₄ – 0,260; К₅ – 1,134.

Нормализуем полученные значения (делим каждую среднюю на общую сумму):

3,288+2,036+0,506+0,260+1,134=7,224;

ω₁ = 3,288/7,224 = 0,455; ω₂ = 2,036/7,224 = 0,282; ω₃ = 0,07; ω₄ = 0,036; ω₅ =0,157.

Этап 3. Выполняется сравнение альтернатив попарно по их предпочтительности по каждому критерию в отдельности

Используя ту же шкалу оценок, заполняем матрицы парных сравнений альтернатив по каждому критерию и рассчитываем оценки альтернатив по алгоритму 4:

К1	А2	А3	А5	оценка альтернативы
А2	1	1/9	1/2	0,07
А3	9	1	8	0,80
А5	2	1/8	1	0,13
К2	А2	А3	А5	оценка альтернативы
А2	1	8	6	0,75
А3	1/8	1	1/5	0,06
А5	1/6	5	1	0,19
К3	А2	А3	А5	оценка альтернативы
А2	1	1/7	1/7	0,06
А3	7	1	1	0,47
А5	7	1	1	0,47

К4	А2	А3	А5	оценка альтернативы
А2	1	6	1/4	0,25
А3	1/6	1	1/8	0,06
А5	4	8	1	0,69
К5	А2	А3	А5	оценка альтернативы
А2	1	1/8	1/3	0,08
А3	8	1	7	0,83
А5	3	1/7	1	0,09

Этап 4. Определяются обобщенные скалярные оценки альтернатив

Находится сумма произведений оценок, полученных каждой альтернативой в парных сравнениях по каждому критерию, и весов соответствующих критериев:

Q(A₂)= 0,07·0,455+0,75·0,282+0,06·0,07+0,25·0,036+0,08·0,157=0,27;

Q(A₃)=0,546; (max)

Q(A₅)=0,185.

Этап 5. Выбирается рациональное решение по критерию максимума обобщенной скалярной оценки

Наибольшее значение обобщенной скалярной оценки получено у варианта А₃, следовательно, он и является рациональным вариантом для размещения офиса фирмы.