Метод предпочтений. Оценка согласованности экспертов

Пусть имеется m экспертов Э₁, Э₂, …, Э_m и n альтернатив А₁, А₂, …, А_n. Каждый эксперт оценивает важность альтернатив, пользуясь числами натурального ряда, причем наиболее важной альтернативе присваивается 1, следующей по важности -2 и т.д. В этих условиях веса альтернатив определяются следующим образом:

3. Составляется исходная матрица предпочтений с оценками K_ji:

	А1	А2	…	Аn
Э1	K11	K12	…	K1n
Э2	K21	K22	…	K2n
…	…	…	…	…
Эm	Km1	Km2	…	Kmn

1 ≤ K_ji ≤ n; j = ; i = .

4. Составляется модифицированная матрица предпочтений с оценками:

K^`_ji = n - K_ji.

5. Находятся суммарные оценки предпочтений альтернатив:

K_i = .

6. Вычисляются искомые веса альтернатив:

ω_i = ; .

Для оценки согласованности экспертов используется коэффициент конкордации Кендалла:

W = , .

Согласованность считается достигнутой, если значение коэффициента конкордации больше 0,5.

Расчет коэффициента производится следующим образом:

• находится вспомогательная величина:

А = ;

• определяется разности значений по каждой альтернативе:

R_i = S_i – A,

где S_i – сумма оценок по каждой альтернативе на основе исходной матрицы предпочтений;

• находится сумма квадратов разностей:

S = ∑ R_i².

Метод парных сравнений

Экспертам предлагается произвести сравнение n альтернатив А₁, А₂, …, А_n попарно, с тем, чтобы установить наиболее значимую в каждой паре. Для облегчения этой процедуры составляют матрицы парных сравнений, в которых все сопоставляемые альтернативы записываются дважды: по горизонтали и по вертикали. Каждый эксперт, заполняющий такую матрицу, должен проставить на пересечении сравниваемых альтернатив оценку с использованием определенной шкалы, например:

.

Матрица парных сравнений

	А1	А2	…	Аn
А1	×	a12	…	a1n
А2	a21	×	…	a2n
…	…	…	…	…
Аn	an1	an2	…	×

Если процедура сравнения выполняется несколькими экспертами, то в результате сложения одноименных элементов частных матриц составляется суммарная матрица, отражающая предпочтения всех экспертов.

В таких условиях веса альтернатив определяются следующим образом:

• определяется цена каждой альтернативы как сумма оценок по строке матрицы –

;

• вычисляются искомые веса альтернатив путем нормирования цен альтернатив –

, .

Алгоритм Кемени – Снелла

Эвристический алгоритм Кемени – Снелла предназначен для определения результирующего ранжирования альтернатив. Реализуется алгоритм в несколько этапов.

1. Исходя из частных ранжирований n альтернатив А₁, А₂, …, А_n определяются матрицы бинарных предпочтений (по каждому эксперту Э₁, Э₂, …, Э_m) с оценками :

.

Например, известны частные ранжирования 8 экспертами 4 альтернатив (в экспертизе использован метод предпочтений):

Эj	Аi
	А1	А2	А3	А4
Э1	3	2	1	4
Э2	1	2	3	4
Э3	3	1	2	4
Э4	2	4	1	3
Э5	2	1	1	3
Э6	3	4	1	2
Э7	2	1	2	3
Э8	2	2	1	3

Исходя из указанных частных ранжирований, определяем матрицы бинарных предпочтений каждого эксперта с оценками .

Э1

А1

А2

А3

А4

Э2

А1

А2

А3

А4

Э3

А1

А2

А3

А4

Э4

А1

А2

А3

А4

А1

×

-1

-1

+1

А1

×

+1

+1

+1

А1

×

-1

-1

+1

А1

×

+1

-1

+1

А2

+1

×

-1

+1

А2

-1

×

+1

+1

А2

+1

×

+1

+1

А2

-1

×

-1

-1

А3

+1

+1

×

+1

А3

-1

-1

×

+1

А3

+1

-1

×

+1

А3

+1

+1

×

+1

А4

-1

-1

-1

×

А4

-1

-1

-1

×

А4

-1

-1

-1

×

А4

-1

+1

-1

×

Э5

А1

А2

А3

А4

Э6

А1

А2

А3

А4

Э7

А1

А2

А3

А4

Э8

А1

А2

А3

А4

А1

×

-1

-1

+1

А1

×

+1

-1

-1

А1

×

-1

0

+1

А1

×

0

-1

+1

А2

+1

×

0

+1

А2

-1

×

-1

-1

А2

+1

×

+1

+1

А2

0

×

-1

+1

А3

+1

0

×

+1

А3

+1

+1

×

+1

А3

0

-1

×

+1

А3

+1

+1

×

+1

А4

-1

-1

-1

×

А4

+1

+1

-1

×

А4

-1

-1

-1

×

А4

-1

-1

-1

×

2. Определяется матрица потерь с оценками :

, .

По данным примера определим матрицу потерь с оценками :

Матрица потерь

	А1	А2	А3	А4
А1	×	9	13	2
А2	7	×	9	4
А3	3	7	×	0
А4	14	12	16	×

Например, элемент рассчитан следующим образом:

.

3. Выполняется обработка матрицы потерь в несколько циклов. В каждом цикле рассчитываются суммы оценок потерь по строкам матрицы, находится альтернатива с минимальной суммой, которая исключается из матрицы потерь.

Выполним обработку матрицы потерь по данным примера:

Циклы вычислений	1	2	3
А1	24 (=9+13+2)	11 (=9+2) ←min А1 исключается из матрицы	-
А2	20 (=7+9+4)	11 (=7+4) ←min А2 исключается из матрицы	-
А3	10 (=3+7+0)←min А3 исключается из матрицы	-	-
А4	42 (=14+12+16)	26 (=14+12)	26

4. Находится результирующее ранжирование альтернатив (ранжирование определяется порядком исключения альтернатив из матрицы потерь).

Результирующее ранжирование альтернатив в примере получено таким: .