1.3. Ознаки збіжності довільних рядів. Абсолютна збіжність.

Нехай (а_n) і (b_n) - довільні послідовності в R, (А_n) – послідовність частинних сум ряду . Доведемо наступну тотожність Абеля^*):

n, m ϵ N, n < m.

Доведення. На підставі маємо:

Займемось дослідженням збіжності рядів вигляду

(1)

.

Очевидно, довільний ряд можна зобразити у вигляді (1).

Розглянемо ті випадки, коли послідовності (a_n) і (b_n) задовольняють деяким спеціальним умовам. У зв'язку з цим доведемо три теореми.

Теорема 1 (ознака Діріхле*⁾) Припустимо, що

1) послідовність(А_n) обмежена,

2) послідовність (b_n) монотонна і lim b_n = 0.

Тоді ряд (1) збігається.

Доведення. Нехай M - таке додатне число, що , n ϵ N . Розглянемо

випадок, коли , n ϵ N. Тоді згідно з умовою 2)

Користуючись тотожністю Абеля, можемо написати :

Як бачимо, для ряду (1) виконується умова Больцано-Коші, отже, він збіжний (теорема 3 із § 52). Якщо , то розглядаємо послідовності (-a_n) і (-b_n).

Теорема2 (ознака Абеля). Нехай ряд збіжний , а послідовність (b_n) монотонна і обмежена . Тоді ряд (1) збігається .

Доведення. Монотонна і обмежена послідовність (b_n) є збіжною. Нехай

b = lim b_n . Тоді послідовність (b_n - b) монотонна і має границю 0. Застосовуючи теорему 1, робимо висновок, що ряд

(2)

.

є збіжний. Збіжним є також ряд

(3)

.

Ряд (1) є сумою двох збіжних рядів (2) і (3), отже, він також збігається.

Означення. Ряд називається рядом Лейбніца.

Р

(4)

яд

називається рядом лейбніцівського типу, якщо послідовність (с_n) монотонно прямує до нуля при , причому , n є N.

Теорема 3 (ознака Лейбніца). Ряди лейбніцівського типу збіжні і модуль їх суми не перевищує модуля першого члена. Якщо сума ряду (4) відмінна від нуля, то її знак співпадає зі знаком c₁.

Доведення. Збіжність є наслідком теореми 1: , n є N;

.

Нехай c₁ > 0. Доведемо, що сума C ряду (1) задовольняє нерівності . Нехай (С_n) - послідовність частинних сум ряду (4). Тоді

тобто при всіх n є N. Звідси випливає, що .

Якщо c₁< 0, то переходом до ряду дістаємо, що , тобто . □

Наслідок. Залишок ряду лейбніцівського типу є знову рядом лейбніцівського типу, отже, сума R_n залишка після n-го члена задовольняє нерівність . Частинна сума С_n ряду (4) наближає його суму C з точністю .

Д

(5)

ійсно, це випливає з теореми 3 і рівності (див. теорему 5 із § 52)

Введемо тепер нові типи збіжності рядів.

Означення. Ряд називається абсолютно збіжним, якщо збіжний ряд . Збіжний ряд називається умовно збіжним, якщо він не є абсолютно збіжним.

Теорема 4. Кожен абсолютно збіжний ряд є збіжним, причому має місце нерівність

(6)

Доведення. Перше твердження є наслідком критерія Больцано-Коші (теорема 3 із § 53) і нерівності

Із цієї нерівності при випливає нерівність (6). □

Збіжність або умовна збіжність рядів перевіряється на підставі означення, критерія Больцано-Коші, теорем 1-3 або досліджуються штучними методами. Абсолютну збіжність рядів можна досліджувати ознаками збіжності додатних рядів.