1. Теоретична частина

1.1. Ряди з додатними членами

Будемо розглядати ряди

члени яких задовольняють нерівності . У випадку потреби вважатимемо, що (див. теорему 5). В обох випадках ряди називаються додатними.

Теорема 1. Додатний ряд (1) збіжний тоді і тільки тоді, коли послідовність (А_n) його частинних сум обмежена. Сума ряду (1) дорівнює .

Доведення. Послідовність частинних сум додатного ряду є монотонно зростаючою. Її збіжність еквівалентна її обмеженості (теорема 2).

Означення. Нехай . Ряд (1) називається мінорантним по відношенню до ряду (2), а ряд (2) - мажорантним по відношенню до ряду (1). При цьому пишемо

Теорема 2 (перша ознака порівняння). Із зіжності мажорантного ряду випливає збіжність мінорантного ряду.

Доведення. Якщо ряд (1) мінорантний по відношенню до ряду (2), то для частинних сум справедливі нерівності А_n B_n, . Очевидно, із обмеженості послідовності (В_n) випливає обмеженість послідовності (А_n). Тому твердження теореми є наслідком теореми 1. □

Наслідок. Із розбіжності мінорантного ряду випливає розбіжність мажорантного ряду.

Зауваження. Поняття додатного, мінорантного і мажорантного ряду можна узагальнити так, що відповідні нерівності вимагаємо лише на фінальній

підмножині N. Але це не є істотним узагальненням, бо скінченна кількість членів ряду не впливає на його збіжність. Тому користуємось приведеними вище означеннями.

Введемо позначення

Теорема 3 (друга ознака порівняння). Якщо L > 0, то із збіжності ряду (1) випливає збіжність ряду (2). Якщо і ряд (2) збіжний, то збіжним є також ряд (1). Якщо існує то ряди (1) і (2) одночасно збіжні чи розбіжні.

Доведення. Нехай настільки мале, що Тоді на фінальній підмножині N виконуються нерівності

.

Таким чином, ряд при L > 0 є мажорантним по відношенню до ряду , а при - мінорантним по відношенню до ряду . Але множники не впливають на збіжність або розбіжність ряду . При існуванні границі K маємо: K = L = M. Твердження

теореми 3 є наслідками теореми 2. □

Теорема 4 (третя ознака порівняння). Нехай, починаючи з деякого номера п₀₂, виконуються нерівності

Тоді із збіжності ряду (2) випливає збіжність ряду (1).

Доведення. Можемо приймати, що п₀ =1. Перемножимо нерівності (3) при :

Звідси випливає, що . Після цього досить застосувати теорему 3.

Теорема 5 (ознака Даламбера). Нехай існує границя

(5)

Якщо D < 1, то ряд (1) збіжний; якщо D > 1, то ряд (1) розбіжний.

Існують збіжні та розбіжні ряди , для яких D = 1.

Доведення. Нехай D<1. Починаючи з деякого номера n₀, мають місце нерівності Покладаючи , дістаємо збіжний геометричний ряд . Оскільки , то виконуються нерівності (3), отже, ряд (1) збіжний.

Якщо D > 1, то, починаючи з деякого номера n₀, мають місце нерівності , отже, при . Але при такій умові не може виконуватися необхідна умова збіжності .

Для узагальненого гармонічного ряду маємо рівність D=1. Цей ряд розбіжний при (приклад 10 із § 52) і збіжний при (див. розв'язок прикладу 1в)).

Теорема 6 (ознака Коші). Введемо позначення

Якщо C<1, то ряд (1) збіжний', якщ о C>1, то ряд (1) розбіжний .

Існують збіжні і розбіжні ряди , для яких C = 1.

Доведення. Нехай C<1 і , . Тоді існує таке N ϵ N, що при виконується нерівність , тобто . Це означає, що ряд мажорується збіжним геометричним рядом, отже, він збігається.

Якщо C>1, то на деякій нескінченній множині індексів, тому не виконується необхідна умова збіжності .

Узагальнені гармонічні ряди дають приклади збіжних і розбіжних рядів: для них C = 1.

Зауваження. Якщо існує границя (5), то . Дійсно, із (5) випливає, що

Якщо D=0, то заміняємо числом 0. Перемножимо останні нерівності при і дістанемо:

.

Звідси випливає, що

.

Внаслідок довільності є, ці нижня і верхня границі співпадають з числом D. Отже, .

Цим доведено, що ознака збіжності Коші не слабша ніж ознака Даламбера. Приклади показують, що ознака Коші навіть сильніша ніж ознака Даламбера.

Для рядів з монотонними членами корисною є наступна

Теорема 7 (Коші). Нехай послідовність (а_n) додатна і монотонно спадна. Ряд (1) збігається тоді і тільки тоді, коли збіжним є ряд

(6)

Доведення. Нехай (А_n) і (S_k) - послідовності частинних сум відповідно рядів (1) і (6), k - довільне натуральне число.

Для маємо

(7)

Якщо , то

(8)

Із нерівностей (7) і (8) випливає, що послідовності (A_n) і (S_k) одночасно обмежені або не обмежені. Внаслідок теореми 1 ряди (1) і (6) одночасно збіжні або розбіжні.

Наслідок. Наступні ряди

(9)

збігаються, якщо , і розбігаються, якщо .

Щоб це довести, для рядів (9) складаємо ряди типу (6):

(10)

Перший із цих рядів збіжний тоді і тільки тоді, коли (як геометричний ряд). Другий із рядів (10) порівнюється з першим із рядів (9), а третій ряд із (10) - з другим із (9). Отже, всі ряди із (9) збігаються при , і тільки при такому . □

Ознаки Коші і Даламбера виникли на підставі порівняння ряду з геометричним рядом. Розглянемо ознаки збіжності рядів, які базуються на порівнянні рядів з узагальненим гармонічним рядом або рядами типу (9).

Теорема 8 (Ознака Раабе). Нехай для ряду (1)

(11)

.

Тоді ряд (1) збігається. Якщо ж , починаючи від деякого номера n₀ виконуються нерівності

(12)

,

то ряд (1) розбігається.

Доведення. Нехай R > 1 і 1 < r < R. Згідно з (11), існує таке N ϵ N, що при всіх виконуються нерівності

(13)

, тобто .

Виберемо довільне число α між 1 і r (1 < α < r) і використаємо відоме співвідношення (див. теорему 2 із §51) ~ . Знайдемо таке N₁>N, щоб при виконувалися нерівності

(14)

.

На підставі нерівностей (13) і (14) маємо:

.

Внаслідок збіжності ряду , на підставі теореми 4 заключаємо, що ряд (1) збіжний.

Нехай тепер . Тоді , тобто .

Якби ряд (1) збігався, то на підставі останньої нерівності і теореми 4 зробили б хибний висновок, що гармонічний ряд збігається. Отже, ряд (1) розбіжний.

Наслідок (логарифмічна ознака). Якщо для ряду (1)

(15)

.

то ряд (1) збігається.

Дійсно, якщо r - таке число, що 1 < r < L, то внаслідок (15) існує таке N ϵ N, що при всіх виконуються нерівності (див. (7) із § 51)

.

Звідси випливає, що , і за ознакою Раабе ряд (1) збіжний. □

На порівнянні з рядом базується наступна ознака збіжності ряду, яку ми сформулюємо без доведення.

Теорема 9 (ознака Бертрана**⁾). Нехай існує

.

Тоді при В > 1 ряд (1) збігається, при В < 1 — розбігається .

Ознаки збіжності ряду, що грунтуються на теоремах 3-4 , можна підсилити так, щоб вони стали більш ефективними. Зазначимо, що немає універсального ряду, за допомогою якого шляхом порівняння можна було б дослідити збіжність будь-яких інших рядів.