5. Отношения на множестве, способы их задания. Свойства отношений

Бинарное отношение на множества – это всякое подмножество декартова произведения Х×Х.

Обозначение: R, S, T и другие.

Если R – отношение на множестве Х, то, согласно определению, R c Х×Х.

Способы задания:

- перечислением пар

- указанием характеристического свойства

- при помощи графа

- при помощи таблицы

- графический способ

Свойства:

*отношение R на множестве Х называется рефлексивным, если о каждом элементе множества Х можно сказать, что оно находится в отношении R с самим собой.

R рефлексивно на Х < = > xRx для любого х Х.

На графе рефлексивность в виде петли.

*отношение R на множестве Х называется симметричным, если выполняется условие: из того, что элемент Х находится в отношении R с элементом у, следует, что элемент у находится в отношении R с элементом х.

R симметрично на Х < = > (xRу = > уRх)

На графе это двойная стрелка.

Отношение R на множестве Х называется антисимметричным, если для различия элементов х и у множества Х выполняется условие: из того, что х находится в отношении R с элементом у, следует, что у в отношении R с элементом х не находится.

R антисимметрично на Х < = > (xRy Ʌ x ≠ y = > yRx)

На графе одинарная стрелочка.

*отношение R на множестве Х называется транзитным, если выполняется условие: из того, что элемент х находится в отношении R с элементом у и элемент у находится в отношении R с элементом z.

R транзитивно на Х < = > (xRy Ʌ yRz => xRz).

На графе – треугольник.

*отношение R множестве Х называется связанным, если для любых элементов х и у из множества Х выполняется условие: из того, что х и у различны, следует, что х находится в отношении R с элементом у, либо элемент у находится в отношении R с элементом х.

R связанно на множестве Х < = > (x+y = > xRy V yRx).

6. Отношение эквивалентности и его связь с разбиением множества на классы. Отношение порядка. Упорядоченные множества

Отношение R на множестве Х называется отношением эквивалентности, если оно одновременно обладает свойствами рефлексивности, симметричности и транзитивности.

Если на множестве Х задано отношение эквивалентности, то оно разбивает это множество на попарно непересекающиеся подмножества (классы эквивалентности).

Верно и обратное утверждение: если какое-либо отношение, заданное на множестве Х, определило разбиение этого множества на классы, то это отношение есть отношение эквивалентности.

Отношение R на множестве Х называется отношением порядка, если оно транзитивно и антисимметрично.

Множество Х с заданным на нем отношением порядка называется упорядоченным множеством.

7. Теоретико-множественный смысл понятия натурального числа и нуля. Определение отношений «равно» и «меньше» на множестве целых неотрицательных чисел. Понятие отрезка натурального ряда чисел. Порядковые и количественные натуральные числа

Натуральное число – это общее свойство класса конечных равномощных множеств.

а = n(A)

Нуль – число элементов пустого множества.

0 = n(Ø)

Отрезком Na натурального ряда называется множество натуральных чисел, не превосходящих натурального числа а.

Na = {x / x N и x ≤ a}

Свойства отрезков натурального ряда:

*Любой отрезок Na содержит единицу. (вытекает из определения отрезка Na)

*Если число х содержится в отрезке Nа и х ≠ а, то и непосредственно следующее за ним число х+1 также содержится в Nа

Множество А называется конечным, если оно равномощно некоторому отрезку Na натурального ряда.

Всякое непустое конечное множество равномощно одному и только одному отрезку натурального ряда.

Если непустое конечное множество А равномощно отрезку Na, то натуральное число а называют числом элементов множества А и пишут n(a) = a.

Установление взаимно однозначного соответствия между элементами непустого конечного множества А и отрезком натурального ряда называется счетом элементов множества А.

Таким образом, всякое натуральное число а можно рассматривать как характеристику некоторого конечного множества А. Натуральное число а имеет при этом количественный смысл.

Числа а и b равны, если они определяются равномощными множествами.

a = b < = > A B, n(A) = a, n(B) = b

Число а меньше числа b, если множество А равномощно собственному подмножеству множества В.

a < b < = > A B₁, B₁ c B, B₁ ≠ B, n(A) = a, n(B) = b

Число а меньше числа b тогда и только тогда, когда существует такое натуральное число с, что (а + с) = b

a < b < = > (Ǝ c N) a + c = b

Число а меньше числа b тогда и только тогда, когда отрезок натурального ряда длины а является подмножеством отрезка этого ряда длины b.

a < b < = > Na c Nb, Na ≠ Nb