3. Операции над множествами: разность множеств, дополнение к подмножеству, декартово произведение. Законы этих операций

Разностью множеств А и В называется множество, содержащее все элементы, которые принадлежат множеству А, но не принадлежат множеству В.

А\В = {х / х А, х В}

Дополнением множества В до множества А называется множество, содержащее все элементы множества А, которые не принадлежат множеству В, при условии, что В является подмножеством множества А.

В^/_А = {х / х А, х В}, В с А

Законы:

1. (А\В)\С = (А\С)\В

2. (АᴗВ)\С = (А\С)ᴗ(В\С)

3. (А\В)ᴖС = (АᴖС)\(ВᴖС)

4. А\(ВᴗС) = (А\В)ᴖ(А\С)

5. А\(ВᴖС) = (А\В)ᴗ(А\С)

Порядок выполнения действий с множествами:

1-скобки

2-пересечение

3-объединение или разность

Доказательства законов с помощью кругов Эйлера.

Декартовым произведением множеств А и В называется множество всех пар 1-ая компонента которых принадлежит множеству А, а 2-ая – множеству В.

А×В = {(х;у) (х А;у В)}

Способы задания декартово выражения

1.Перечисление пар

А×В = {(m;e), (m;f), (m;k), …}

2.Указанием характеристического свойства

3.Табличный

А \ В	3	5
1	(1;3)	(1;5)
2	(2;3)	(2;5)
3	(3;3)	(3;5)

4.При помощи графа

5.Графический

1)А = {2;3;5} , B = {4;7} 2)A = {2;3;5} , B = [4;7]

3) Оба множества заданы интервалами 4) Множество А задано несколькими А = [2;5) , B = (4;7] элементами A = {2;4;5} , B = R

5) Множество А – интервал, множество В = R 6)A = R, B = R

A = [2;5), B = R

Свойства:

1 ⁰ А×В = В×А

А×В = {(х;у) (х А;у В)} коммуникативный закон

В×А = {(х;у) (х В;у А)} => не выполняется

2⁰(А×В)×С = А×(В×С) => ассоциативный закон не выполняется

3⁰Дистрибутивный закон декартово произведение относительно объединения

(АᴗВ)×С=(А×С)ᴗ(В×С)

А = {а; б; в} В = {г; д} С = {е}

АᴗВ = {а; б; в; г; д}

( АᴗВ)×С = {(а;е), (б;е), (в;е), (г;е), (д;е)}

А×С = {(а;е), (б;е), (в;е)} одинаковые

В×С = {(г;е), (д;е)} верно

(А×С)ᴗ(В×С) = {(а;е), (б;е), (в;е), (г;е), (д;е)}

Дистрибутивный закон декартово произведение относительно вычитания

(А\В)×С=(А×С)\(В×С)

А = {1; 2; 3; 4} B = {3; 4; 6} C = {6}

A\B = {1; 2}

(А\В)×С = {(1;6), (2;6)}

(А×С)\(В×С) = {(1;6), (2;6), (3;6), (4;6)}\{(3;6), (4;6), (6;6)}

(А×С)\(В×С) = {(1;6), (2;6)}

закон верный

4. Понятие соответствия между двумя множествами. Способы задания соответствий. Отображения. Взаимно обратные и взаимно однозначные соответствия. Равномощные множества

Соответствием между множествами Х и Y называется всякое подмножество декартова произведения этих множеств.

Соответствие обозначается: P, S, T, R.

S с X×Y

Способы задания:

* перечисление пар

I R = {(b;4); (b₃;20)}

II S = {(F₁;4); (F₂;10); (F₃;10)}

III T = {(y₁;4); (y₂;11); (y₃;4)}

* указанием характеристического свойства

* при помощи графа

* графический

* табличный

Условимся предложение «элемент х находится в соответствии S с элементом у» записывают кратко так: хSy. Запись хSy можно рассматривать как обобщение записей конкретных соответствий: х=2у; х>3у+1 и другие.

Пусть S – соответствие между множествами X и Y. Соответствие S^-1 между множествами Y и X называется обратным данному, если уS^-1х тогда и только тогда, когда хSy.

Графики взаимно обратных соответствий S и S^-1 симметричны относительно биссектрисы 1-го и 3-го координатных углов.

Взаимно однозначным соответствием между множествами X и Y называется такое соответствие, при котором каждому элементу множества Х сопоставляется единственный элемент множества Y и каждый элемент множества Y сопоставляется только одному элементу множества Х.

Множества Х и Y называются равномощными, если между ними можно установить взаимосвязанные однозначные отношения.