27. Понятия высказывания. Операции над высказываниями. Формулы логических высказываний

Высказыванием в математике называют предложение, относительно которого имеет смысл вопрос: истинно оно или ложно.

Обозначение: A, B, C, … , Z.

Значения истинности высказывания: и – истина, л – ложь.

Предикат (высказывательная форма) – предложение с переменной, которое обращается в высказывание при подстановке в него переменной из множества Х.

Множество из … - область определения высказывательной формы – множество, из которого выбираются значения переменной.

Множество истинности – множество тех значений переменной, которые обращают высказывательную форму в истинное высказывание. (Т) Т с Х

Конъюнкцией высказываний А и В называется высказывание А^В, которое истинно, когда оба высказывания истинны, и ложно, когда хотя бы одно из этих высказываний ложно.

А	В	А^В		А	В	АvВ
и	и	и		и	и	и
и	л	л		и	л	и
л	и	л		л	и	и
л	л	л		л	л	л

Дизъюнкция высказываний А и В называется высказывание АvВ, которое истинно, когда истинно хотя бы одно из этих высказываний, и ложно, когда оба высказывания ложны.

Отрицанием высказывания А называется высказывание Ā, которое ложно, когда высказывание А истинно, и истинно, когда высказывание А ложно.

Чтобы построить отрицание элементарного высказывания надо:

1.Перед высказыванием поставить слова «Не верно, что … »

2.Добавить частицу «НЕ»

Чтобы построить отрицание конъюнкции (дизъюнкции) используется закон де Моргана: чтобы построить отрицание конъюнкции (дизъюнкции), достаточно заменить отрицаниями составляющие ее высказывания, а союз «и» («или») заменить союзом «или» («и»).

28. Понятие квантора. Отношение логического следования и равносильности между предложениями. Необходимые и достаточные условия

Слова «все», «некоторые» называются кванторами. Это слово латинского происхождения и означает «сколько», т.е. квантор показывает, о скольких объектах говорится в том, или ином предложении.

Виды кванторов:

*квантор общности: любой, каждый, всякий, все. Обозначается: V

*квантор существования: существует, некоторые, есть, найдется, хоть бы один. Об.:Ǝ.

Истинность высказывания с квантором общности устанавливается путем доказательства. Чтобы убедиться в ложности таких высказываний, достаточно привести контрпример.

Истинность высказываний с квантором существования устанавливается при помощи примера. Чтобы убедиться в ложности такого примера, необходимо привести доказательство.

Отрицание высказывания с квантором может быть построено 2 способами:

- перед данным высказыванием ставится «Не верно, что … »

- квантор общности/существования заменяется квантором существования/общности, а предложение, стоящее после квантора заменяется его отрицанием.

А(х): «х кратно 4»

В(х): «х кратно 2»

А(х) => В(х)

Высказывательная форма В(х) следует из высказывательной формы А(х), если В(х) обращается в истинное высказывание при всех тех значениях х, при которых А(х) истинно.

В – необходимое условие для А.

А – достаточное условие для В.

Предложения А(х) и В(х) равносильны, если из предложения А(х) следует предложение В(х), а из предложения В(х) следует предложение А(х).