
- •1. Понятие множества и элемента множества. Способы задания множеств. Отношения между двумя множествами и изображение их при помощи кругов Эйлера
- •2. Операции над множествами: пересечение, объединение. Основные законы этих операций
- •3. Операции над множествами: разность множеств, дополнение к подмножеству, декартово произведение. Законы этих операций
- •4. Понятие соответствия между двумя множествами. Способы задания соответствий. Отображения. Взаимно обратные и взаимно однозначные соответствия. Равномощные множества
- •5. Отношения на множестве, способы их задания. Свойства отношений
- •6. Отношение эквивалентности и его связь с разбиением множества на классы. Отношение порядка. Упорядоченные множества
- •8. Теоретико-множественный смысл суммы. Ее существование и единственность. Законы сложения
- •9. Теоретико-множественный смысл разности двух целых неотрицательных чисел. Определение разности через сумму. Условие существования разности на множестве целых неотрицательных чисел, ее единственность
- •10. Теоретико-множественный смысл произведения двух целых неотрицательных чисел. Законы умножения. Определение произведения через сумму
- •11. Теоретико-множественный смысл частного целого неотрицательного числа и натурального. Определение частного через произведение. Его существование и единственность
- •12. Натуральное число как результат измерения величин (длины). Определение арифметических действий над натуральными числами – результатами измерения велечин
- •13. Понятие системы счисления. Запись и название чисел в десятичной системе счисления. Алгоритмы сложения и вычитания в десятичной системе счисления
- •14. Алгоритмы умножения и деления чисел в десятичной системе счисления
- •15. Определение отношения делимости на множестве целых неотрицательных чисел. Свойства отношения делимости. Делимость суммы, разности, произведения целых неотрицательных чисел
- •16. Признаки делимости на 2, 5, 10.
- •17. Признаки делимости на 4, 11, 25.
- •18. Признаки делимости на 3, 6, 9.
- •19. Понятие дроби и положительного рационального числа. Упорядоченность множества положительных рациональных чисел. Определение арифметических действий над положительными рациональными числами
- •20. Числовые функции. Способы задания. График функции. Прямая и обратная пропорциональности
- •21. Уравнения с одной переменной. Множество корней уравнения. Равносильные уравнения. Теоремы о равносильности уравнений
- •22. Неравенства с одной переменной. Множество решений неравенства. Теоремы о равносильности неравенств
- •23. Понятие величины и ее измерения. Основные свойства скалярных величин.
- •24. Длина отрезка, ее основные свойства. Измерение длины отрезка. Стандартные единицы длины, соотношения между ними
- •25. Площадь фигуры. Способы измерения площадей фигур. Равновеликие и равносоставленные фигуры. Нахождение площади прямоугольника
- •26. Математические понятия. Объем и содержание понятия. Определение понятия через род и видовое отличие. Требование к определению понятий
- •27. Понятия высказывания. Операции над высказываниями. Формулы логических высказываний
- •28. Понятие квантора. Отношение логического следования и равносильности между предложениями. Необходимые и достаточные условия
- •29. Доказательство математических предложений. Индукция (полная, неполная), дедукция. Простейшие правила вывода
- •30. Структура теоремы. Виды теорем. Связь между ними
1. Понятие множества и элемента множества. Способы задания множеств. Отношения между двумя множествами и изображение их при помощи кругов Эйлера
Множество – это основное неопределяемое понятие в математике.
– это группа объектов как единое целое.
Обозначение: A, B, C, D, E, …
Множество, не содержащее ни одного объекта, называется пустым и обозначается Ø.
N – мн. натуральных ч.
Z – мн. целых ч.
Q – мн. рациональных ч.
J – мн. иррациональных ч.
R – мн. действительных ч.
Объекты, из которых образовано множество, называются элементами множества.
Обозначение: a, b, c, d, e, …
a A
b B
Множества бывают конечные и бесконечные.
Способы задания множеств.
Множество задано, если о любом объекте можно сказать, принадлежит он этому множеству или не принадлежит.
Способы:
1.Перечисление всех его элементов
А = {а, я, у, ю, е, ё, о, и, э, ы}
2.Использую характеристическое свойство.
Характеристическое свойство – такое свойство, которым обладает каждый элемент, принадлежащий множеству, и не обладает ни один элемент, который ему не принадлежит.
В – множество двузначных чисел.
С = {x / x N; 3 ≤ x < 7}
Отношения между множествами.
Если множества А и В имеют общие элементы, то эти множества пересекаются.
Если множества А и В не имеют общих элементов, то эти множества не пересекаются.
Множество В является подмножеством множества А, если каждый элемент множества В является также элементом множества А. В с А
Любое пустое множество является подмножеством для любого множества. Ø с А
Любое множество является подмножеством самого себя. А с А
Множества А и В называют равными, если А является подмножеством В, а В является подмножеством А. Равные множества состоят из одних и тех же элементов и порядок записи элементов множества несущественен.
А = {0; 1; 4; 8} B = {4; 1; 0; 8} А = В
2. Операции над множествами: пересечение, объединение. Основные законы этих операций
Пересечение множеств А и В называется множество, содержащее те и только те элементы, которые принадлежат множеству А и множеству В.
А ᴖ В = {х / х А и х В}
А ᴖ В = Ø
В с А => А ᴖ В = В
Если множества заданы перечислением элементов, то достаточно перечислить их общие элементы.
Характеристическое свойство множества А ᴖ В составляется из характеристических свойств пересекаемых множеств с помощью союза «и».
Свойства (ко 2 и 3 вопросу):
1.Коммуникативный закон
Для любых двух множеств А и В справедливо равенство
- А ᴖ В = В ᴖ А - А ᴗ В = В ᴗ А
Доказательство: Доказательство:
А = { } А = { }
В = { } В = { }
А ᴖ В = { } А ᴗ В = { }
В ᴖ А = { } => А ᴖ В = В ᴖ А В ᴗ А = { } =>А ᴗ В = В ᴗ А
2.Ассоциативный закон
Для любых трех множеств А, В и С справедливо равенство
- (А ᴖ В) ᴖ С = А ᴖ (В ᴖ С) - (А ᴗ В) ᴗ С = А ᴗ (В ᴗ С)
3.Дистрибутивный закон
- пересечения относительно объединения - объединения относительно пересечения
(А ᴗ В) ᴖ С = (А ᴖ С) ᴗ (В ᴖ С) (А ᴖ В) ᴗ С = (А ᴗ С) ᴖ (В ᴗ С)
Объединение множеств А и В называется множество, содержащие те и только те элементы, которые принадлежат множеству А или В.
А ᴗ В = {х / х А или х В}
А ᴗ Ø = А
В с А => А ᴗ В = А
Если множество, заданное перечислением его элементов, то чтобы получить объединение множеств надо перечислить элементы множества А и добавит из В недостающие элементы.
Если множества заданы указанием характеристического свойства, то используется союз «или».