4.2. Билинейные и квадратичные формы.
Определение.
Билинейной формой на пространстве
называется отображение
,
сопоставляющее каждой паре векторов
число, причём:
.
Всякую билинейную форму можно задать с помощью матрицы:
То
есть,
.
Замечание.
Обычное скалярное произведение также
является билинейной формой и соответствует
единичной матрице
.
Если
положить
для билинейной формы, то полученное
отображение
называется квадратичной формой на
пространстве
.
Квадратичная форма имеет вид
.
Поскольку
,
то на значение квадратичной формы влияют
только суммы вида
,
а не каждое слагаемое в отдельности.
Отсюда очевидно, что квадратичную форму
всегда можно задать с помощью симметрической
матрицы.
Если
квадратичная форма имеет вид
,
то она называется квадратичной формой
в каноническом виде.
Теорема. Любую квадратичную форму в можно привести к каноническому виду с помощью перехода к новому базису.
Доказательство. Для симметрического оператора всегда существует n собственных чисел, и, соответственно, n собственных векторов. Отсюда следует, что в новом базисе, составленном из этих собственных векторов, матрица оператора будет диагональной. Такое свойство базиса, состоящего из собственных векторов симметрического оператора, позволяет применять симметрические операторы к преобразованию квадратичных форм. Ведь всякая квадратичная форма задаётся симметрической матрицей, значит, её матрица может быть преобразована к диагональному виду. Это означает, что в новом базисе квадратичная форма не будет содержать произведений различных переменных, а будет состоять только из вторых степеней переменных.
Алгоритм приведения квадратичной формы к главным осям:
Построить матрицу квадратичной формы.
Найти собственные числа и векторы, записать квадратичную форму (коэффициентами при квадратах новых переменных будут найденные собственные числа).
Нормировать собственные векторы и записать матрицу перехода от старого базиса к новому (а именно, состоящему из найденных векторов).
Пример 1. привести к главным осям квадратичную форму третьего порядка.
.
Построим матрицу этой квадратичной формы:
Найдём собственные
числа и векторы:
.
Простому корню 0 соответствует собственный
вектор
,
кратному корню 3 соответствуют два
собственных вектора:
,
.
Запишем матрицу перехода, предварительно
поделив каждый вектор на его модуль.
,
а
квадратичная форма имеет вид:
.
Пример 2. (с дробными коэффициентами квадратичной формы). Привести к главным осям квадратичную форму третьего порядка.
Решение. Сначала построим матрицу квадратичной формы.
Найдём 3 собственных числа. λ = 1 , -1 , -2. Затем для каждого собственного числа найдём собственный вектор и нормируем его.
λ
=1 x=
λ
=-1 x=
.
λ
=-2 x=
Квадратичная
форма в новом базисе:
=
.
§ 5. Приложения. Задачи для самостоятельного решения и самопроверки.
В задачах 1 – 90 все 3 характеристических корня различны, в задачах 91 – 150 есть корень кратности 2.
5.1. найти матрицу линейного оператора, отображающего систему векторов
a1, a2, a3 в систему векторов b1, b2, b3.
Вариант 1 a1=(0 -4 -1 ) b1=( 16 -8 6 ) a2=( 1 -5 -5 ) b2=( 21 -22 15 ) a3=( 2 4 1 ) b3=(-14 14 -6 ) Вариант 2 a1=( 1 3 2 ) b1=( 13 16 1 ) a2=( 4 0 5 ) b2=( 1 16 4 ) a3=( 4 4 5 ) b3=( 17 32 0 ) Вариант 3 a1=( 2 -1 0 ) b1=( 3 -4 4 ) a2=( 4 -2 -3 ) b2=( 12 -5 17 ) a3=( 5 -5 0 ) b3=(0 -5 0 ) Вариант 4 a1=( 3 2 -3 ) b1=(-11 5 15 ) a2=(0 -1 -1 ) b2=( 1 -4 -1 ) a3=(0 -2 -4 ) b3=(-4 -14 2 ) Вариант 5 a1=(-1 2 -2 ) b1=(-4 -5 2 ) a2=(-1 -4 1 ) b2=( 23 -5 -19 ) a3=( 3 -5 -3 ) b3=( 16 -2 -11 ) Вариант 6 a1=(-4 -2 -2 ) b1=(-4 18 -32 ) a2=( 2 -4 -3 ) b2=( 11 3 -11 ) a3=(0 3 3 ) b3=(-6 -9 18 ) Вариант 7 a1=( 1 -5 2 ) b1=(-29 -31 14 ) a2=( 4 5 1 ) b2=( 5 8 -22 ) a3=(-4 -2 -5 ) b3=( 19 11 0 ) Вариант 8 a1=(-3 3 -2 ) b1=( 12 -11 -3 ) a2=( 2 -4 2 ) b2=(-20 16 10 ) a3=( 3 -3 3 ) b3=(-15 15 3 ) Вариант 9 a1=( 4 5 -3 ) b1=(-19 -17 18 ) a2=(-1 4 -1 ) b2=(-4 6 20 ) a3=(0 -5 3 ) b3=( 11 -3 -26 ) |
Вариант 10 a1=(-1 1 4 ) b1=(-4 21 5 ) a2=( 1 1 -1 ) b2=( 8 -5 6 ) a3=(-4 -4 4 ) b3=(-32 20 -24 ) Вариант 11 a1=( 2 1 -2 ) b1=( 3 -12 9 ) a2=( 2 -4 2 ) b2=(-14 -16 8 ) a3=(-2 -1 -3 ) b3=(-13 -8 11 ) Вариант 12 a1=(0 -3 4 ) b1=(-21 6 -25 ) a2=(-3 -3 0 ) b2=(-9 -21 6 ) a3=( 1 0 4 ) b3=(-12 17 -21 ) Вариант 13 a1=( 2 3 4 ) b1=( 1 18 2 ) a2=( 3 -5 2 ) b2=(-27 11 -1 ) a3=( 4 1 -2 ) b3=(-13 -4 -6 ) Вариант 14 a1=(-3 1 1 ) b1=(-12 -2 -8 ) a2=( 3 0 0 ) b2=( 9 3 15 ) a3=( 3 -5 -5 ) b3=( 24 -2 -20 ) Вариант 15 a1=(-3 -2 -4 ) b1=( 32 9 -7 ) a2=(0 3 1 ) b2=(-15 -1 14 ) a3=( 5 4 0 ) b3=(-36 -29 1 ) Вариант 16 a1=(-4 -5 -3 ) b1=( 2 17 -24 ) a2=(-1 2 -4 ) b2=(-6 1 -6 ) a3=( 2 2 0 ) b3=(0 -4 6 ) Вариант 17 a1=( 2 -1 2 ) b1=(-11 -5 -9 ) a2=(-1 2 4 ) b2=( 5 -4 -10 ) a3=(0 1 0 ) b3=( 3 -1 -3 ) Вариант 18 a1=(0 0 3 ) b1=( 3 -3 -3 ) a2=(-3 0 -1 ) b2=(-10 -2 -8 ) a3=(-1 -3 -1 ) b3=(-10 -3 4 ) |
5.2. найти все собственные числа и собственные векторы для оператора.
Задачи 1-90: все характеристические корни различны.
Вариант 1 9 8 -4 -4 -3 2 5 7 0 Вариант 2 7 1 -13 -4 1 10 2 1 -2 Вариант 3 4 1 1 -1 0 -1 -1 1 2 Вариант 4 1 -1 -1 4 6 5 -2 -2 -1 Вариант 5 -3 -10 -6 1 4 1 2 4 5 Вариант 6 -3 -5 -6 2 4 2 2 2 5 Вариант 7 4 4 3 -3 -3 -3 2 4 5 Вариант 8 4 -4 -6 3 -3 -6 -1 2 5 Вариант 9 5 2 2 -8 -4 -6 4 3 5 Вариант 10 1 -4 0 1 4 1 0 2 1 |
Вариант 11 2 3 -1 1 -4 1 5 -33 8 Вариант 12 10 3 8 -24 -5 -24 -1 -1 1 Вариант 13 2 -1 0 -6 3 2 3 -3 1 Вариант 14 3 -2 2 -2 3 0 -3 3 0 Вариант 15 -2 -1 4 -4 1 4 -5 -1 7 Вариант 16 5 -6 2 6 -11 4 15 -33 12 Вариант 17 2 -4 -2 -1 -3 -2 2 12 7 Вариант 18 13 18 -4 -7 -10 2 9 15 -1 Вариант 19 11 6 -18 -8 -4 14 4 3 -5 Вариант 20 3 1 1 -2 -3 -2 0 3 2 |
Вариант 21 0 -1 -1 5 6 7 -3 -3 -4 Вариант 22 -8 -18 -10 2 5 2 3 6 5 Вариант 23 -8 -9 -10 4 5 4 3 3 5 Вариант 24 5 6 3 -6 -7 -3 4 6 4 Вариант 25 5 -6 -6 6 -7 -6 -2 3 4 Вариант 26 5 3 3 -12 -9 -10 6 5 6 Вариант 27 1 -4 2 1 3 1 -1 2 -2 Вариант 28 2 -3 0 2 -11 2 9 -57 11 Вариант 29 21 7 20 -36 -10 -36 -10 -4 -9 Вариант 30 -2 -1 1 -9 2 3 -3 -3 2
|
Вариант 31 3 -4 4 -1 0 2 -3 3 -1 Вариант 32 -5 -2 6 -6 -1 6 -7 -2 8 Вариант 33 4 -6 2 9 -19 6 24 -54 17 Вариант 34 1 -4 -2 -2 -9 -4 4 22 10 Вариант 35 -1 -14 -8 1 8 4 -2 -10 -4 Вариант 36 -5 -13 -11 4 10 8 -2 -4 -2 Вариант 37 -2 -2 -2 5 5 4 -1 -1 0 Вариант 38 2 4 0 -1 -2 -1 1 2 3 Вариант 39 -2 2 6 3 -1 -6 -2 2 6 Вариант 40 -2 -2 -12 -3 -1 -12 1 1 6
|
Вариант 41 -5 -8 -6 2 4 2 3 4 4 Вариант 42 -3 24 -5 -1 6 -1 -2 6 0 Вариант 43 9 -2 -3 -3 2 1 24 -6 -8 Вариант 44 -1 2 -2 -7 8 -6 -6 6 -4 Вариант 45 0 -8 -4 1 5 2 -2 -6 -2 Вариант 46 -1 18 16 1 -8 -8 0 12 10 Вариант 47 7 21 27 -4 -14 -20 2 6 8 Вариант 48 -6 -4 -4 -1 0 -1 9 6 7 Вариант 49 6 4 4 -11 -9 -10 3 3 4 Вариант 50 2 0 4 1 4 1 -3 -6 -5 |
Вариант 51 2 0 4 2 4 2 -3 -3 -5 Вариант 52 4 -6 -12 -3 7 12 2 -6 -10 Вариант 53 4 6 24 3 7 24 -1 -3 -10 Вариант 54 -5 -3 -3 12 6 4 -6 -2 0 Вариант 55 11 16 10 -4 -6 -4 -5 -8 -4 Вариант 56 7 -42 9 1 -4 1 0 12 -2 Вариант 57 -13 4 5 9 -2 -3 -42 12 16 Вариант 58 8 -1 -6 6 1 -6 10 -1 -8 Вариант 59 -10 24 -8 -9 19 -6 -15 27 -8 Вариант 60 2 16 8 -1 -3 -2 2 2 2 |
Вариант 61 2 -18 -16 -1 9 8 0 -12 -9 Вариант 62 -6 -21 -27 4 15 20 -2 -6 -7 Вариант 63 7 4 4 1 1 1 -9 -6 -6 Вариант 64 -5 -4 -4 11 10 10 -3 -3 -3 Вариант 65 -1 0 -4 -1 -3 -1 3 6 6 Вариант 66 -1 0 -4 -2 -3 -2 3 3 6 Вариант 67 6 3 3 -12 -5 -4 6 2 1 Вариант 68 -10 -16 -10 4 7 4 5 8 5 Вариант 69 -6 42 -9 -1 5 -1 0 -12 3 Вариант 70 14 -4 -5 -9 3 3 42 -12 -15
|
Вариант 71 -2 2 -2 -13 13 -10 -12 12 -9 Вариант 72 -7 1 6 -6 0 6 -10 1 9 Вариант 73 11 -24 8 9 -18 6 15 -27 9 Вариант 74 -1 -16 -8 1 4 2 -2 -2 -1 Вариант 75 -3 20 20 2 -9 -10 -1 13 12 Вариант 76 7 25 35 -4 -17 -26 2 7 10 Вариант 77 -8 -5 -5 -1 0 -1 11 7 8 Вариант 78 7 5 5 -14 -12 -13 4 4 5 Вариант 79 3 2 6 1 4 1 -4 -8 -7 Вариант 80 3 1 6 2 4 2 -4 -4 -7 |
Вариант 81 4 -8 -15 -3 9 15 2 -8 -13 Вариант 82 4 8 30 3 9 30 -1 -4 -13 Вариант 83 -7 -4 -4 16 8 6 -8 -3 -1 Вариант 84 13 20 12 -5 -8 -5 -6 -10 -5 Вариант 85 10 -1 -8 8 1 -8 13 -1 -11 Вариант 86 -13 30 -10 -12 25 -8 -21 39 -12 Вариант 87 2 20 10 -1 -3 -2 2 0 1 Вариант 88 8 5 5 3 4 3 -13 -11 -10 Вариант 89 -7 -5 -5 12 10 9 -2 -2 -1 Вариант 90 5 14 2 -3 -8 -3 2 4 5
|
В задачах 91-180 есть кратный корень
Вариант 91 3 -2 -4 -1 2 2 1 -1 -1 Вариант 92 0 -1 -1 3 4 3 -1 -1 0 Вариант 93 3 1 1 -4 -1 -2 2 1 2 Вариант 94 -1 -4 -2 1 3 1 1 2 2 Вариант 95 -3 -1 -4 -12 -2 -12 8 2 9 Вариант 96 4 -1 -1 -3 2 1 9 -3 -2 Вариант 97 1 0 0 -3 4 -2 -3 3 -1 Вариант 98 -1 0 2 -2 1 2 -3 0 4 Вариант 99 4 -6 2 3 -5 2 6 -12 5 Вариант 100 -2 -8 -4 1 4 1 1 2 3
|
Вариант 101 -2 -4 -4 2 4 2 1 1 3 Вариант 102 3 1 1 -4 -2 -4 2 2 4 Вариант 103 3 -6 1 1 -4 1 4 -24 6 Вариант 104 14 4 12 -12 -2 -12 -9 -3 -7 Вариант 105 -1 0 1 -3 2 1 -6 0 4 Вариант 106 0 -1 2 -2 1 2 -2 -1 4 Вариант 107 2 0 0 -1 -3 -2 2 10 6 Вариант 108 7 -8 -16 -4 3 8 4 -4 -9 Вариант 109 7 4 4 0 -1 0 -8 -4 -5 Вариант 110 -5 -4 -4 12 11 12 -4 -4 -5
|
Вариант 111 -5 -8 -8 0 -1 0 4 8 7 Вариант 112 -5 -4 -8 0 -1 0 4 4 7 Вариант 113 -1 8 12 0 -9 -12 0 8 11 Вариант 114 7 4 4 -16 -9 -8 8 4 3 Вариант 115 -9 -16 -8 4 7 4 4 8 3 Вариант 116 11 -4 -4 -12 3 4 36 -12 -13 Вариант 117 5 12 4 -2 -5 -2 3 9 4 Вариант 118 7 9 3 -4 -5 -2 2 3 2 Вариант 119 0 -1 -1 -1 0 -1 3 3 4 Вариант 120 3 1 1 -2 0 -1 0 0 1 |
Вариант 121 5 4 4 -1 0 -1 -2 -2 -1 Вариант 122 4 -15 3 1 -4 1 3 -15 4 Вариант 123 -4 1 2 0 1 0 -15 3 7 Вариант 124 3 -2 2 4 -3 4 3 -3 4 Вариант 125 2 4 2 -1 -3 -2 2 8 5 Вариант 126 9 24 8 -4 -11 -4 6 18 7 Вариант 127 13 18 6 -8 -11 -4 4 6 3 Вариант 128 -1 -2 -2 -2 -1 -2 6 6 7 Вариант 129 9 8 8 -2 -1 -2 -4 -4 -3 Вариант 130 7 -30 6 2 -9 2 6 -30 7
|
Вариант 131 -9 2 4 0 1 0 -30 6 13 Вариант 132 5 -4 4 8 -7 8 6 -6 7 Вариант 133 3 8 4 -2 -7 -4 4 16 9 Вариант 134 -16 -15 15 12 11 -12 -6 -6 5 Вариант 135 11 24 12 -3 -7 -3 -3 -6 -4 Вариант 136 11 12 12 -6 -7 -6 -3 -3 -4 Вариант 137 -4 -3 -3 12 11 12 -6 -6 -7 Вариант 138 -4 18 -3 -3 17 -3 -12 72 -13 Вариант 139 5 3 -6 6 2 -6 6 3 -7 Вариант 140 -4 -5 5 4 5 -4 -2 -2 3 |
Вариант 141 1 0 0 -1 0 -2 1 1 3 Вариант 142 5 8 4 -1 -1 -1 -1 -2 0 Вариант 143 5 4 4 -2 -1 -2 -1 -1 0 Вариант 144 0 -1 -1 4 5 4 -2 -2 -1 Вариант 145 0 6 -1 -1 7 -1 -4 24 -3 Вариант 146 -11 -4 -12 12 5 12 9 3 10 Вариант 147 3 1 -2 2 2 -2 2 1 -1 Вариант 148 -2 4 8 2 -0 -4 -2 2 6 Вариант 149 4 2 2 -6 -4 -6 2 2 4 Вариант 150 -2 -2 -2 8 6 4 -4 -2 0 |