История развития теории хаоса
Пионерами теории хаоса считаются французский физик и философ Анри Пуанкаре (доказал теорему о возвращении), советские математики А. Н. Колмогоров и В. И. Арнольд и немецкий математик Ю. К. Мозер, построившие теорию хаоса, называемую КАМ (теория Колмогорова — Арнольда — Мозера). Теория вводит понятие аттракторов (в том числе, странных аттракторов как притягивающих канторовых структур), устойчивых орбит системы.
Динамический подход к описанию систем самого различного происхождения известен со времен Ньютона. Он является основой анализа большинства классических явлений в физике и других естественных науках: сначала строится соответствующая математическая модель в виде динамических уравнений, а затем тем или иным способом изучаются их решения, которые, в принципе, можно сопоставить с экспериментальными данными. Развитие этих идей, а также представление, что состояние модели в любой момент времени должно однозначно определяться начальными условиями, привело исследователей к понятию динамической системы.
Хотя динамическая система и является некоторой математической абстракцией, данная парадигма оказалась весьма продуктивным инструментом при описании многих реальных явлений. Наибольший успех в этом направлении был получен в первой трети ХХ века, когда была создана теория колебаний двумерных систем. Последующие усилия исследователей были посвящены изучению возможности распространить эту теория на многомерные системы. Однако, несмотря на значительные открытия в данной области, до 60-х годов ХХ столетия не было понятно, насколько сложными могут быть движения в таких системах.
Ситуация коренным образом изменилась после того как С.Смейл заложил основы гиперболической теории. Исследования в этом направлении выявили большое разнообразие динамики нелинейных систем и привели к одному из важнейших открытий ХХ века - динамическому хаосу. Были введены У-системы(позже названные системами Аносова) и изучены бильярдные модели, являющиеся упрощенными моделями статистической физики.
Рис.1. Аттрактор Смейла-Вильямса
Однако в то время эти идеи не находили широкого признания, поскольку построенные примеры носили весьма абстрактный характер, и было неясно, имеют ли данные конструкции какое-либо отношение к реальности. Более того, было распространено мнение, что хаотические явления, присущие физическим системам, имеют переходной характер, и, если достаточно долго наблюдать за системой, то хаос должен выродиться в регулярное движение.
Такая точка зрения сохранялась до середины семидесятых годов, когда математические идеи теории динамических систем удалось связать с физической моделью, относящейся к гидродинамике, знаменитой системой Лоренца. С этого времени началось систематическое изучение динамического хаоса.
Классическими примерами хаоса являются азартные игры, которые, в частности, изучаются теорией вероятности. Однако азартные игры – это недетерминированный процесс. Здесь допускается присутствие элемента случайности. Теория хаотических систем использует методы теории вероятности, однако не является ее частью. Хаос же следует определить как некоторый случайный процесс, который наблюдается в динамических системах, не подверженных влиянию шумов или каких-либо случайных сил. Поэтому теория хаоса рассматривается как часть теории динамических систем.
Одним из пионеров в теории хаоса был Эдвард Лоренц, интерес которого к хаосу появился случайно, когда он работал над предсказанием погоды в 1961 году. Погодное Моделирование Лоренц выполнял на простом цифровом компьютере McBee LGP-30. Когда он захотел увидеть всю последовательность данных, тогда, чтобы сэкономить время, он запустил моделирование с середины процесса. Хотя это можно было сделать введя данные с распечатки, которые он вычислил в прошлый раз.
К его удивлению погода, которую машина начала предсказывать, полностью отличалась от погоды, рассчитанной прежде. Лоренц обратился к компьютерной распечатке. Компьютер работал с точностью до 6 цифр, но распечатка округлила переменные до 3 цифр, например значение 0.506127 было напечатано как 0.506. Это несущественное отличие не должно было иметь фактически никакого эффекта. Однако Лоренц обнаружил, что малейшие изменения в первоначальных условиях вызывают большие изменения в результате. Открытию дали имя Лоренца и оно доказало, что Метеорология не может точно предсказать погоду на период более недели. Годом ранее, Бенуа Мандельброт нашёл повторяющиеся образцы в каждой группе данных о ценах на хлопок. Он изучал теорию информации и заключил, что Структура помех подобна набору Регента: в любом масштабе пропорция периодов с помехами к периодам без них была константа — значит ошибки неизбежны и должны быть запланированы. Мандельброт описал два явления: «эффект Ноя», который возникает, когда происходят внезапные прерывистые изменения, например, изменение цен после плохих новостей, и «эффект Иосифа» в котором значения постоянны некоторое время, но все же внезапно изменяются впоследствии. В 1967 он издал работу «Какой длины побережье Великобритании? Статистические данные подобностей и различий в измерениях» доказывая, что данные о длине береговой линии изменяются в зависимости от масштаба измерительного прибора. Он утверждал, что клубок бечевки кажется точкой, если его рассматривать издалека (0-мерное пространство), он же будет клубком или шаром, если его рассматривать достаточно близко (3-мерное пространство) или может выглядеть замкнутой кривой линией сверху (1-мерное пространство). Он доказал, что данные измерения объекта всегда относительны и зависят от точки наблюдения.
Объект, изображения которого являются постоянными в различных масштабах («самоподобие») является фракталом (например кривая Коха или «снежинка»). В 1975 году Мандельброт опубликовал работу «Фрактальная геометрия природы», которая стала классической теорией хаоса. Некоторые биологические системы, такие как система кровообращения и бронхиальная система, подходят под описание фрактальной модели.
Явления хаоса наблюдали многие экспериментаторы ещё до того, как его начали исследовать. Например, в 1927 году Ван дер Поль, а в 1958 году П. Ивес. 27 ноября 1961 Й. Уэда, будучи аспирантом в лаборатории Киотского университета, заметил некую закономерность и назвал её «случайные явления превращений», когда экспериментировал с аналоговыми вычислительными машинами. Тем не менее его руководитель не согласился тогда с его выводами и не позволил ему представить свои выводы общественности до 1970 года. В декабре 1977 Нью-Йоркская академия наук организовала первый симпозиум о теории хаоса, который посетили Дэвид Руелл, Роберт Мей, Джеймс А. Иорк, Роберт Шоу, Й. Даян Фермер, Норман Пакард и метеоролог Эдвард Лоренц. В следующем году, Митчелл Фейгенбаум издал статью «Количественная универсальность для нелинейных преобразований», где он описал логистические отображения. М. Фейгенбаум применил рекурсивную геометрию к изучению естественных форм, таких как береговые линии. Особенность его работы в том, что он установил универсальность в хаосе и применял теорию хаоса ко многим явлениям. В 1979 Альберт Дж. Либчейбр на симпозиуме в Осине, представил свои экспериментальные наблюдения каскада раздвоения, который ведет к хаосу. Его наградили премией Вольфа в физике совместно с Митчеллом Дж. Фейгенбаумом в 1986 «за блестящую экспериментальную демонстрацию переходов к хаосу в динамических системах». Тогда же в 1986 Нью-Йоркская Академия Наук вместе с национальным Институтом Мозга и центром Военно-морских исследований организовали первую важную конференцию по хаосу в биологии и медицине. Там Бернардо Уберман продемонстрировал математическую модель глаза и нарушений его подвижности среди шизофреников. Это привело к широкому применению теории хаоса в физиологии в 1980-х, например в изучении патологии сердечных циклов. В 1987 Пер Бак, Чао Тан и Курт Висенфелд напечатали статью в газете, где впервые описали систему самодостаточности (СС), которая является одним из природных механизмов. Многие исследования тогда были сконцентрированы вокруг крупномасштабных естественных или социальных систем. CC стала сильным претендентом на объяснение множества естественных явлений, включая землетрясения, солнечные всплески, колебания в экономических системах, формирование ландшафта, лесные пожары, оползни, эпидемии и биологическую эволюцию. Учитывая нестабильное и безмасштабное распределение случаев возникновения, странно, что некоторые исследователи предложили рассмотреть как пример CC возникновение войн. Эти «прикладные» исследования включали в себя две попытки моделирования: разработка новых моделей и приспособление существующих к данной естественной системе.
В тот же самый год Джеймс Глеик издал работу «Хаос: создание новой науки», которая стала бестселлером и представила широкой публике общие принципы теории хаоса и её хронологию. Теория хаоса прогрессивно развивалась как межпредметная и университетская дисциплина, главным образом под названием «анализ нелинейных систем». Опираясь на концепцию Томаса Куна о парадигме сдвига, много «учёных-хаотиков» (так они сами назвали себя) утверждали, что эта новая теория и есть пример сдвига.
Где же лежит граница между регулярной, но сложной динамикой, и хаосом? Критерием может служить устойчивость системы к малым возмущениям. Если такая устойчивость отсутствует, детерминированное описание на больших временных интервалах теряет смысл, и необходимо использовать статистические методы. Такой подход привел к необходимости определения хаотического поведения через чувствительную зависимость системы к начальным условиям и использованию показателей Ляпунова и энтропии в качестве критериев динамического хаоса.
В настоящее время для изучения свойств сложных систем, в том числе и при экспериментальных исследованиях, широко используется подход, основанный на анализе сигналов, произведенных системой. Это особенно актуально в тех случаях, когда математически описать изучаемый процесс практически невозможно, но в распоряжении исследователей имеется некоторая характерная наблюдаемая величина. Анализ такого подхода составляет содержание последней части.
В основу представлений о детерминированном хаосе положено целое множество направлений современной математики: дифференциальная динамика, теория меры, функциональный анализ, теория особенностей, топология и др. К сожалению, сейчас большинство понятий из этих областей сильно формализованы и зачастую их физический смысл теряется за завесой абстрактных рассуждений, терминов и теорем.